Änderungen von Dokument Lösung Verbindungsstrecken von Eckpunkten
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... ... @@ -1,29 +1,17 @@ 1 -//Analyse: // 1 +Analyse: 2 +Das eigene Formulieren der Aufgabenstellung kann hier in Form einer informativen Zeichnung erledigt 3 +werden. 2 2 3 -Das eigene Formulieren der Aufgabenstellung kann hier in Form einer informativen Zeichnung erledigt werden. 4 4 5 -[[image:5-Eckund9-Eck.PNG||width="250" style="float: left"]] 6 6 In der ersten Beispielskizze sieht man ein 5-Eck. Hier lassen 7 7 sich 5 Diagonalen zählen. 8 - 9 9 In der zweiten Beispielskizze sieht man ein 9-Eck. Hier wird 10 10 das Zählen bereits schwierig. 11 - 12 - 13 13 Ziel ist es eine Formel zu erhalten, mit der sich die Anzahl 14 14 der Diagonalen für beliebige n-Ecke berechnen lässt. 15 15 16 - 17 - 18 - 19 - 20 - 21 - 22 - 23 -//Durchführung: // 13 +Durchführung: 24 24 1. mögliche Strategie: Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen. 25 - 26 -[[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]] 27 27 Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2 28 28 Diagonalen wegführen. 29 29 5 mal 2 Diagonalen würden 10 Diagonalen ergeben, dabei wird aber jede ... ... @@ -31,30 +31,24 @@ 31 31 miteinander), daher muss man das Produkt noch durch 2 teilen: 10 : 2 = 5. 32 32 Dies stimmt mit den gezählten Diagonalen überein. 33 33 34 - 35 -[[image:9-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]] 36 36 Im 9-Eck führen von jeder Ecke aus 6 Diagonalen weg. 9 mal 6 Diagonalen 37 37 ergeben 54 Diagonalen. Hier wurden wieder alle Diagonalen doppelt gezählt. 38 38 54 : 2 = 27. 39 39 Das 9-Eck besitzt 27 Diagonalen 40 40 27 +Übertragung auf den allgemeinen Fall, das n-Eck: 28 +Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen 29 +von einer Ecke wegführen? Da nur die 30 +Verbindungsstrecke zweier nicht 31 +benachbarter Punkte Diagonale genannt 32 +wird, kommen bei n Ecken, die betreffende 33 +Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken 34 +nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann nur mit (n 35 +– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden 36 +werden. Rechnet man 𝑛 ∙ (𝑛 − 3), so 37 +berücksichtigt man wiederum alle 38 +Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel 39 +muss also 𝑛∙(𝑛−3) 40 +2 41 +lauten. 41 41 42 - 43 - 44 -Übertragung auf den allgemeinen Fall, das //n//-Eck: 45 -[[image:5-Eckund9-Eck2.PNG||width="250" style="float: left"]] 46 -Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen von einer Ecke wegführen? 47 - 48 -Da nur die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Punkte Diagonale genannt wird, kommen bei //n// Ecken, die betreffende Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann 49 -nur mit (//n//– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden werden. 50 - 51 -Rechnet man {{formula}}n \cdot (n-3) {{/formula}}, so berücksichtigt man wiederum alle 52 -Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel muss also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} lauten. 53 - 54 -//Reflexion/Kontrolle: // 55 -Überprüfung für //n// = 5 und //n// = 9: 56 -{{formula}}\frac{5 \cdot (5-3)}{2} = 5 {{/formula}} stimmt, 57 -{{formula}}\frac{9 \cdot (9-3)}{2} = 27 {{/formula}} stimmt. 58 - 59 -Ein //n//-Eck besitzt also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} Diagonalen. 60 -
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- n-Eck.PNG
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