Änderungen von Dokument Lösung Verbindungsstrecken von Eckpunkten
Zuletzt geändert von akukin am 2023/11/27 21:02
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... ... @@ -21,7 +21,7 @@ 21 21 22 22 23 23 //Durchführung: // 24 - **1. mögliche Strategie:**Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.24 +1. mögliche Strategie: Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen. 25 25 26 26 [[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]] 27 27 Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2 ... ... @@ -48,16 +48,9 @@ 48 48 Da nur die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Punkte Diagonale genannt wird, kommen bei //n// Ecken, die betreffende Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann 49 49 nur mit (//n//– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden werden. 50 50 51 - 52 52 Rechnet man {{formula}}n \cdot (n-3) {{/formula}}, so berücksichtigt man wiederum alle 53 53 Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel muss also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} lauten. 54 54 55 - 56 - 57 - 58 - 59 - 60 - 61 61 //Reflexion/Kontrolle: // 62 62 Überprüfung für //n// = 5 und //n// = 9: 63 63 {{formula}}\frac{5 \cdot (5-3)}{2} = 5 {{/formula}} stimmt, ... ... @@ -65,55 +65,3 @@ 65 65 66 66 Ein //n//-Eck besitzt also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} Diagonalen. 67 67 68 -**2. mögliche Strategie:** An einer Ecke beginnen zu zählen, an den weiteren Ecken nur noch die noch nicht berücksichtigten Ecken zählen 69 - 70 -**5-Eck:** links oben mit den roten Diagonalen beginnend: 71 -[[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]] 72 - 73 -2 rote Diagonalen + 2 lila Diagonalen + 1 orange Diagonale = 5 Diagonalen insgesamt 74 - 75 - 76 - 77 - 78 - 79 -9-Eck: links oben mit den roten Diagonalen beginnend: 80 - 81 -[[image:9-Eck2.PNG||width="140" style="float: left"]] 82 - 83 -6 rote Diagonalen + 6 lila Diagonalen + 5 orange 84 -Diagonalen + 4 grasgrüne Diagonalen + 3 rosa Diagonalen 85 -+ 2 gelbe Diagonalen + 1 hellgrüne Diagonale = 27 86 -Diagonalen insgesamt 87 - 88 - 89 - 90 -Verallgemeinerung **//n//-Eck**: an einer beliebigen Ecke beginnend: 91 -(n–3) Diagonalen gehen von der 1. Ecke ab. 92 -(n–3) weitere Diagonalen gehen auch von der Ecke daneben, der 2. ab. 93 -(n–4) weitere Diagonalen gehen von der 3. Ecke ab. 94 -(n–5) weitere Diagonalen gehen von der 4. Ecke ab. 95 -... 96 -2 weitere Diagonalen gehen von der 4.letzten Ecke ab. 97 -1 weitere Diagonale geht von der 3.letzten Ecke ab. 98 -Alle Diagonalen, die von der vorletzten und der letzten Ecke abgehen, wurden bereits berücksichtig. 99 - 100 -Im //n//-Eck gibt es also 1 + 2 + 3 + ... + (n – 4) + 2⋅(n – 3) Diagonalen. 101 - 102 -{{lehrende}} 103 -//Anmerkung: // 104 -Hier kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Schüler*innen aus dieser Darstellung zur 105 -allgemeinen Formel kommen (nicht im Lehrplan) 106 -{{formula}} 107 -\begin{align} 108 -&1+2+3+ \dots + (n-4) + 2 \cdot (n-3) = \\ 109 -&(1+2+3+ \dots + (n-4) + (n-3)) + (n-3) = \\ 110 -&\frac{(n-3)(n-2)}{2}+\frac{2(n-3)}{2} =\\ 111 -&\frac{(n-3)((n-2)+2)}{2} =\\ 112 -& \frac{(n-3)\cdot n}{2} 113 -\end{align} 114 -{{/formula}} 115 -{{/lehrende}} 116 - 117 -//Reflexion/Kontrolle: // 118 -Die Formel ist korrekt für 5-Eck und 9-Eck (siehe oben). Für das 6 Eck gib es demnach 1 + 2 + 3 + 3 = 119 -9 Diagonalen. Dies lässt sich einfach durch Abzählen verifizieren.