Änderungen von Dokument Lösung Verbindungsstrecken von Eckpunkten
Zuletzt geändert von akukin am 2023/11/27 21:02
Zusammenfassung
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... ... @@ -21,9 +21,8 @@ 21 21 22 22 23 23 //Durchführung: // 24 +1. mögliche Strategie: Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen. 24 24 25 - __1. mögliche Strategie:__ Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen. 26 - 27 27 [[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]] 28 28 Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2 29 29 Diagonalen wegführen. ... ... @@ -43,7 +43,6 @@ 43 43 44 44 45 45 Übertragung auf den allgemeinen Fall, das //n//-Eck: 46 - 47 47 [[image:5-Eckund9-Eck2.PNG||width="250" style="float: left"]] 48 48 Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen von einer Ecke wegführen? 49 49 ... ... @@ -50,17 +50,9 @@ 50 50 Da nur die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Punkte Diagonale genannt wird, kommen bei //n// Ecken, die betreffende Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann 51 51 nur mit (//n//– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden werden. 52 52 53 - 54 - 55 55 Rechnet man {{formula}}n \cdot (n-3) {{/formula}}, so berücksichtigt man wiederum alle 56 56 Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel muss also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} lauten. 57 57 58 - 59 - 60 - 61 - 62 - 63 - 64 64 //Reflexion/Kontrolle: // 65 65 Überprüfung für //n// = 5 und //n// = 9: 66 66 {{formula}}\frac{5 \cdot (5-3)}{2} = 5 {{/formula}} stimmt, ... ... @@ -68,64 +68,3 @@ 68 68 69 69 Ein //n//-Eck besitzt also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} Diagonalen. 70 70 71 -__2. mögliche Strategie:__ An einer Ecke beginnen zu zählen, an den weiteren Ecken nur noch die noch nicht berücksichtigten Ecken zählen 72 - 73 - 74 -**5-Eck:** links oben mit den roten Diagonalen beginnend: 75 -[[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]] 76 - 77 -2 rote Diagonalen + 2 lila Diagonalen + 1 orange Diagonale = 5 Diagonalen insgesamt 78 - 79 - 80 - 81 - 82 - 83 - 84 - 85 - 86 - 87 -**9-Eck:** links oben mit den roten Diagonalen beginnend: 88 - 89 - 90 -[[image:9-Eck2.PNG||width="140" style="float: left"]] 91 - 92 -6 rote Diagonalen + 6 lila Diagonalen + 5 orange 93 -Diagonalen + 4 grasgrüne Diagonalen + 3 rosa Diagonalen 94 -+ 2 gelbe Diagonalen + 1 hellgrüne Diagonale = 27 95 -Diagonalen insgesamt 96 - 97 - 98 - 99 - 100 - 101 -Verallgemeinerung **//n//-Eck**: an einer beliebigen Ecke beginnend: 102 -(n–3) Diagonalen gehen von der 1. Ecke ab. 103 -(n–3) weitere Diagonalen gehen auch von der Ecke daneben, der 2. ab. 104 -(n–4) weitere Diagonalen gehen von der 3. Ecke ab. 105 -(n–5) weitere Diagonalen gehen von der 4. Ecke ab. 106 -... 107 -2 weitere Diagonalen gehen von der 4.letzten Ecke ab. 108 -1 weitere Diagonale geht von der 3.letzten Ecke ab. 109 -Alle Diagonalen, die von der vorletzten und der letzten Ecke abgehen, wurden bereits berücksichtig. 110 - 111 -Im //n//-Eck gibt es also 1 + 2 + 3 + ... + (n – 4) + 2⋅(n – 3) Diagonalen. 112 - 113 -{{lehrende}} 114 -//Anmerkung: // 115 -Hier kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Schüler*innen aus dieser Darstellung zur 116 -allgemeinen Formel kommen (nicht im Lehrplan) 117 - 118 -{{formula}} 119 -\begin{align} 120 -&1+2+3+ \dots + (n-4) + 2 \cdot (n-3) = \\ 121 -&(1+2+3+ \dots + (n-4) + (n-3)) + (n-3) = \\ 122 -&\frac{(n-3)(n-2)}{2}+\frac{2(n-3)}{2} =\\ 123 -&\frac{(n-3)((n-2)+2)}{2} =\\ 124 -& \frac{(n-3)\cdot n}{2} 125 -\end{align} 126 -{{/formula}} 127 -{{/lehrende}} 128 - 129 -//Reflexion/Kontrolle: // 130 -Die Formel ist korrekt für 5-Eck und 9-Eck (siehe oben). Für das 6 Eck gib es demnach 1 + 2 + 3 + 3 = 131 -9 Diagonalen. Dies lässt sich einfach durch Abzählen verifizieren.