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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -21,8 +21,9 @@
21 21  
22 22  
23 23  //Durchführung: //
24 -1. mögliche Strategie: Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
25 25  
25 + __1. mögliche Strategie:__ Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
26 +
26 26  [[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
27 27  Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2
28 28  Diagonalen wegführen.
... ... @@ -38,19 +38,93 @@
38 38  54 : 2 = 27.
39 39  Das 9-Eck besitzt 27 Diagonalen
40 40  
41 -Übertragung auf den allgemeinen Fall, das n-Eck:
42 -Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen
43 -von einer Ecke wegführen? Da nur die
44 -Verbindungsstrecke zweier nicht
45 -benachbarter Punkte Diagonale genannt
46 -wird, kommen bei n Ecken, die betreffende
47 -Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken
48 -nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann nur mit (n
49 -– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden
50 -werden. Rechnet man 𝑛 ∙ (𝑛 − 3), so
51 -berücksichtigt man wiederum alle
52 -Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel
53 -muss also 𝑛∙(𝑛−3)
54 -2
55 -lauten.
56 56  
43 +
44 +
45 +Übertragung auf den allgemeinen Fall, das //n//-Eck:
46 +
47 +[[image:5-Eckund9-Eck2.PNG||width="250" style="float: left"]]
48 +Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen von einer Ecke wegführen?
49 +
50 +Da nur die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Punkte Diagonale genannt wird, kommen bei //n// Ecken, die betreffende Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann
51 +nur mit (//n//– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden werden.
52 +
53 +
54 +
55 +Rechnet man {{formula}}n \cdot (n-3) {{/formula}}, so berücksichtigt man wiederum alle
56 +Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel muss also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} lauten.
57 +
58 +
59 +
60 +
61 +
62 +
63 +
64 +//Reflexion/Kontrolle: //
65 +Überprüfung für //n// = 5 und //n// = 9:
66 +{{formula}}\frac{5 \cdot (5-3)}{2} = 5 {{/formula}} stimmt,
67 +{{formula}}\frac{9 \cdot (9-3)}{2} = 27 {{/formula}} stimmt.
68 +
69 +Ein //n//-Eck besitzt also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} Diagonalen.
70 +
71 +__2. mögliche Strategie:__ An einer Ecke beginnen zu zählen, an den weiteren Ecken nur noch die noch nicht berücksichtigten Ecken zählen
72 +
73 +
74 +**5-Eck:** links oben mit den roten Diagonalen beginnend:
75 +[[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
76 +
77 +2 rote Diagonalen + 2 lila Diagonalen + 1 orange Diagonale = 5 Diagonalen insgesamt
78 +
79 +
80 +
81 +
82 +
83 +
84 +
85 +
86 +
87 +**9-Eck:** links oben mit den roten Diagonalen beginnend:
88 +
89 +
90 +[[image:9-Eck2.PNG||width="140" style="float: left"]]
91 +
92 +6 rote Diagonalen + 6 lila Diagonalen + 5 orange
93 +Diagonalen + 4 grasgrüne Diagonalen + 3 rosa Diagonalen
94 ++ 2 gelbe Diagonalen + 1 hellgrüne Diagonale = 27
95 +Diagonalen insgesamt
96 +
97 +
98 +
99 +
100 +
101 +Verallgemeinerung **//n//-Eck**: an einer beliebigen Ecke beginnend:
102 +(n–3) Diagonalen gehen von der 1. Ecke ab.
103 +(n–3) weitere Diagonalen gehen auch von der Ecke daneben, der 2. ab.
104 +(n–4) weitere Diagonalen gehen von der 3. Ecke ab.
105 +(n–5) weitere Diagonalen gehen von der 4. Ecke ab.
106 +...
107 +2 weitere Diagonalen gehen von der 4.letzten Ecke ab.
108 +1 weitere Diagonale geht von der 3.letzten Ecke ab.
109 +Alle Diagonalen, die von der vorletzten und der letzten Ecke abgehen, wurden bereits berücksichtig.
110 +
111 +Im //n//-Eck gibt es also 1 + 2 + 3 + ... + (n – 4) + 2⋅(n – 3) Diagonalen.
112 +
113 +{{lehrende}}
114 +//Anmerkung: //
115 +Hier kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Schüler*innen aus dieser Darstellung zur
116 +allgemeinen Formel kommen (nicht im Lehrplan)
117 +
118 +{{formula}}
119 +\begin{align}
120 +&1+2+3+ \dots + (n-4) + 2 \cdot (n-3) = \\
121 +&(1+2+3+ \dots + (n-4) + (n-3)) + (n-3) = \\
122 +&\frac{(n-3)(n-2)}{2}+\frac{2(n-3)}{2} =\\
123 +&\frac{(n-3)((n-2)+2)}{2} =\\
124 +& \frac{(n-3)\cdot n}{2}
125 +\end{align}
126 +{{/formula}}
127 +{{/lehrende}}
128 +
129 +//Reflexion/Kontrolle: //
130 +Die Formel ist korrekt für 5-Eck und 9-Eck (siehe oben). Für das 6 Eck gib es demnach 1 + 2 + 3 + 3 =
131 +9 Diagonalen. Dies lässt sich einfach durch Abzählen verifizieren.
9-EckKontrolle.PNG
Author
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1 -XWiki.akukin
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5-Eckund9-Eck2.PNG
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Inhalt
9-Eck2.PNG
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