Wiki-Quellcode von Lösung Verbindungsstrecken von Eckpunkten
Verstecke letzte Bearbeiter
| author | version | line-number | content |
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7.1 | 1 | //Analyse: // |
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1.1 | 2 | |
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7.1 | 3 | Das eigene Formulieren der Aufgabenstellung kann hier in Form einer informativen Zeichnung erledigt werden. |
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1.1 | 4 | |
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7.1 | 5 | [[image:5-Eckund9-Eck.PNG||width="250" style="float: left"]] |
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1.1 | 6 | In der ersten Beispielskizze sieht man ein 5-Eck. Hier lassen |
| 7 | sich 5 Diagonalen zählen. | ||
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7.1 | 8 | |
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1.1 | 9 | In der zweiten Beispielskizze sieht man ein 9-Eck. Hier wird |
| 10 | das Zählen bereits schwierig. | ||
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1.1 | 13 | Ziel ist es eine Formel zu erhalten, mit der sich die Anzahl |
| 14 | der Diagonalen für beliebige n-Ecke berechnen lässt. | ||
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| 23 | //Durchführung: // | ||
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1.1 | 24 | 1. mögliche Strategie: Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen. |
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| 26 | [[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]] | ||
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1.1 | 27 | Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2 |
| 28 | Diagonalen wegführen. | ||
| 29 | 5 mal 2 Diagonalen würden 10 Diagonalen ergeben, dabei wird aber jede | ||
| 30 | Diagonale immer doppelt gezählt (sie verbindet ja zwei Punkte | ||
| 31 | miteinander), daher muss man das Produkt noch durch 2 teilen: 10 : 2 = 5. | ||
| 32 | Dies stimmt mit den gezählten Diagonalen überein. | ||
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7.1 | 34 | |
| 35 | [[image:9-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]] | ||
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1.1 | 36 | Im 9-Eck führen von jeder Ecke aus 6 Diagonalen weg. 9 mal 6 Diagonalen |
| 37 | ergeben 54 Diagonalen. Hier wurden wieder alle Diagonalen doppelt gezählt. | ||
| 38 | 54 : 2 = 27. | ||
| 39 | Das 9-Eck besitzt 27 Diagonalen | ||
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9.1 | 41 | |
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12.1 | 43 | |
| 44 | Übertragung auf den allgemeinen Fall, das //n//-Eck: | ||
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11.1 | 45 | [[image:5-Eckund9-Eck2.PNG||width="250" style="float: left"]] |
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14.1 | 46 | Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen von einer Ecke wegführen? |
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1.1 | 47 | |
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14.1 | 48 | Da nur die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Punkte Diagonale genannt wird, kommen bei //n// Ecken, die betreffende Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann |
| 49 | nur mit (//n//– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden werden. | ||
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| 51 | Rechnet man {{formula}}n \cdot (n-3) {{/formula}}, so berücksichtigt man wiederum alle | ||
| 52 | Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel muss also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} lauten. | ||
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| 54 | //Reflexion/Kontrolle: // | ||
| 55 | Überprüfung für //n// = 5 und //n// = 9: | ||
| 56 | {{formula}}\frac{5 \cdot (5-3)}{2} = 5 {{/formula}} stimmt, | ||
| 57 | {{formula}}\frac{9 \cdot (9-3)}{2} = 27 {{/formula}} stimmt. | ||
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| 59 | Ein //n//-Eck besitzt also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} Diagonalen. | ||
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