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Version 1.1 von akukin am 2023/11/22 18:06
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1 __Erwartungshorizont:__
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3 //Analyse://
4 Es gibt rechtwinklige Dreiecke, in denen beide Katheten und die Hypotenuse
5 ganzzahlige Werte besitzen. Diese heißen pythagoräische Tripel. Es gibt nur ein
6 einziges pythagoräisches Tripel, bei dem eine der drei Seitenlängen den Wert 4
7 besitzt. Dies soll nachgewiesen werden.
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9 Durchführung:
10 (Skizze in Verbindung mit) systematischen Probieren:
11 Angenommen die **Hypotenuse** besitzt den Wert 4.
12 Die beiden Katheten müssen dann auf jeden Fall kleiner als 4 sein, es könnten alle möglichen
13 Kombinationen der Seitenlängen 1, 2 und 3 ausprobiert werden und überprüft werden, ob die
14 zugehörige Hypotenuse die Länge 4 besitzt (über den Satz des Pythagoras: a^^2 + b^^2 = 4^^2 = 16)
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16 (% style="width: min-content; white-space: nowrap" class="border" %)
17 |a|b|a^^2|b^^2|c^^2|
18 |1|1|1|1|2|
19 |1|2|1|4|5|
20 |1|3|1|9|10|
21 |2|3|4|9|13|
22 |3|3|9|9|18|
23
24 **Keine Kombination der Seitenlängen 1, 2 und 3 gehört zu einem pythagoreischen Tripel.**
25
26 D.h. eine der beiden **Katheten** muss den Wert 4 besitzen. Aus dem Satz des Pythagoras folgt
27 4^^2+b^^2 = c^^2 bzw. c^^2 – b^^^2 = 16. Sind alle Seiten ganzzahlig, so suchen wir zwei ganzzahlige Quadratzahlen,deren Differenz 16 ergibt. Systematisches Probieren zeigt
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29 (% style="width: min-content; white-space: nowrap" class="border" %)
30 |c|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
31 |c^^2|1|4|9|16|25|36|49|64|81|100|
32 |c^^2-b^^2| |(% style="color:red" %)4-1=3|9-4=5|16-9=7|36-25=11|49-36=13|64-49=15|81-64=17|Noch größer|
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35 Bildet man die Differenz aus zwei Quadratzahlen (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...) so entsteht niemals
36 der Wert 4² = 16, außer im Fall 25 – 9 = 16.
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38 //Reflexion://
39 Es gibt tatsächlich nur ein einziges pythagoreisches Tripel, bei dem eine Seitenlänge den Wert 4
40 besitzt, nämlich a = 3, b = 4 und c = 5.