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Änderungen von Dokument BPE 2 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/01/12 20:03
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,59 +1,52 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -{{aufgabe id="Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
4 -//Verfahren statt Formel//. Unter der Überschrift //A Simple Proof of the Quadratic Formula// (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion bzw. die prozedurale Bestimmung ihrer //Nullstellen//; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
5 -[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
3 +{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
6 6  (% class="abc" %)
7 -1. (((In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations"(https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er die Methode an folgenden Beispielen vor, die auch hier der Übung dienen sollen.
5 +1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
8 8  (% class="border slim" %)
9 -[[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||width="400px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||width="400px"]]
10 -1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
11 -1. {{formula}}f(x)=x^2-14x+22{{/formula}}
12 -1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
13 -1. {{formula}}f(x)=x^2-8x+13{{/formula}}
14 -1. {{formula}}f(x)=x^2+6x-4{{/formula}}
15 -1. {{formula}}f(x)=x^2-x-1 {{/formula}}
16 -1. {{formula}}f(x)=2x^2-4x-5 {{/formula}}
17 -
18 -)))
19 -1. Am Ende des Videos wird gezeigt, dass die Methode die pq-Formel und die abc-Formel bewiesen.
20 -1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
21 -1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
22 -1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
23 -1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
7 +| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
8 +|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
9 +| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
24 24  
25 -1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Geraden:
11 +)))
12 +1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
26 26  1. (((//Lage//.
27 -i) y-Achsenabschnitt {{formula}}b{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
28 -ii) x-Achsenabschnitt {{formula}}x_0{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_x=N{{/formula}}
14 +i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
15 +ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
16 +iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
29 29  )))
30 30  1. (((//Kovariation//.
31 -i. Steigung {{formula}}m{{/formula}}
19 +i. Steigung {{formula}}b{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}}
32 32  ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
33 33  )))
34 34  )))
35 35  {{/aufgabe}}
36 36  
37 -{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
38 -IN PROGRESS
39 -(% class="abc" %)
40 -1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Geraden die Lücken.
25 +{{aufgabe id="Darstellungswechsel nach Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
26 +Die Normalparabel ist Funktionsgraph //der// quadratischen Potenzfunktion. Transformationen (vgl. Merkhilfe, S. 4) der Normalparabel liefern Funktionsgraphen mit Parabelgleichung in Scheitelform. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige Hauptform, das ist zumeist eine //Linearkombination// der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur Produktform ist schwieriger.
27 +
28 +//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
41 41  (% class="border slim" %)
42 -| |{{formula}}y=\square 3\cdot (x-1)+\square{{/formula}} |
43 -|{{formula}}y=\square \cdot (x-2){{/formula}} |Graph: fallende Gerade in KoorSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square \cdot x+\square{{/formula}}
44 -| |{{formula}}\frac{x}{\square}+\frac{y}{\square}=1{{/formula}} |
30 +|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
45 45  
32 +//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
33 +(% class="border slim" %)
34 +|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
35 +
36 +//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
37 +
38 +(% class="abc" %)
39 +1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) die Produktform der Funktionsgleichung.
40 +1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
41 +1. {{formula}}f(x)=x^2-14x+22{{/formula}}
42 +1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
43 +1. {{formula}}f(x)=x^2-8x+13{{/formula}}
44 +1. {{formula}}f(x)=x^2+6x-4{{/formula}}
45 +1. {{formula}}f(x)=2x^2-4x-5 {{/formula}}
46 +
46 46  )))
47 -1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Geraden:
48 -1. (((//Lage//.
49 -i) y-Achsenabschnitt {{formula}}b{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
50 -ii) x-Achsenabschnitt {{formula}}x_0{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_x=N{{/formula}}
51 -)))
52 -1. (((//Kovariation//.
53 -i. Steigung {{formula}}m{{/formula}}
54 -ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
55 -)))
56 -)))
48 +1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
49 +//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
57 57  {{/aufgabe}}
58 58  
59 59  {{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}