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Änderungen von Dokument BPE 2 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/01/12 20:03
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,88 +1,5 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -{{aufgabe id="Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
4 -//Verfahren statt Formel//. Unter der Überschrift //A Simple Proof of the Quadratic Formula// (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
5 -(% class="border slim" %)
6 -|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="400px"]]|
7 -
8 -In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations"(https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen vor.
9 -(% class="border slim" %)
10 -[[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||hight="300px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||hight="300px"]]
11 -(% class="abc" %)
12 -1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen.
13 -1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
14 -1. {{formula}}f(x)=x^2-14x+22{{/formula}}
15 -1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
16 -1. {{formula}}f(x)=x^2-8x+13{{/formula}}
17 -1. {{formula}}f(x)=x^2+6x-4{{/formula}}
18 -1. {{formula}}f(x)=2x^2-4x-5 {{/formula}}
19 -
20 -)))
21 -1. Am Ende des Videos wird gezeigt, dass die Methode die pq-Formel und die abc-Formel bewiesen.
22 -1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
23 -1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
24 -1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
25 -1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
26 -
27 -1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Geraden:
28 -1. (((//Lage//.
29 -i) y-Achsenabschnitt {{formula}}b{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
30 -ii) x-Achsenabschnitt {{formula}}x_0{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_x=N{{/formula}}
31 -)))
32 -1. (((//Kovariation//.
33 -i. Steigung {{formula}}m{{/formula}}
34 -ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
35 -)))
36 -)))
37 -{{/aufgabe}}
38 -
39 -{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
40 -IN PROGRESS
41 -(% class="abc" %)
42 -1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Geraden die Lücken.
43 -(% class="border slim" %)
44 -| |{{formula}}y=\square 3\cdot (x-1)+\square{{/formula}} |
45 -|{{formula}}y=\square \cdot (x-2){{/formula}} |Graph: fallende Gerade in KoorSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square \cdot x+\square{{/formula}}
46 -| |{{formula}}\frac{x}{\square}+\frac{y}{\square}=1{{/formula}} |
47 -
48 -)))
49 -1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Geraden:
50 -1. (((//Lage//.
51 -i) y-Achsenabschnitt {{formula}}b{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
52 -ii) x-Achsenabschnitt {{formula}}x_0{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_x=N{{/formula}}
53 -)))
54 -1. (((//Kovariation//.
55 -i. Steigung {{formula}}m{{/formula}}
56 -ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
57 -)))
58 -)))
59 -{{/aufgabe}}
60 -
61 -{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
62 -IN PROGRESS
63 -In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
64 -(% class="border slim" %)
65 -|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
66 -|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
67 -|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
68 -|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
69 -
70 -(% class="abc" %)
71 -1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
72 -1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
73 -1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
74 -1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
75 -
76 -)))
77 -1. (((Erläutere, inwiefern {{formula}}\ldots{{/formula}}
78 -1. {{formula}}\ldots{{/formula}} die //Hauptform// und die //Produktform// zwei Spezialfälle der //Punkt-Steigungs-Form// sind.
79 -1. {{formula}}\ldots{{/formula}} nur die //Allgemeine Form// diese Bezeichnung mit Recht trägt; vgl. dazu a).
80 -
81 -)))
82 -1. Berechne aus den Parametern {{formula}}x_0, y_0{{/formula}} der Achsenabschnittsform die Steigung {{formula}}m{{/formula}}.
83 -{{/aufgabe}}
84 -
85 -
86 86  {{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
87 87  Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
88 88  
... ... @@ -149,7 +149,7 @@
149 149  Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die //Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden//, das ist die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch {{formula}}(x|y)\mapsto (y|x){{/formula}}, d.h., die Umkehrung {{formula}}y\mapsto x{{/formula}} der Zuordnung {{formula}}x\mapsto y{{/formula}}.
150 150  Dazu drei Beispiele: Das Spiegelbild der positiv orientierten x-Achse ({{formula}}y=0{{/formula}}, ein Funktionsgraph) ist die positiv orientierte y-Achse ({{formula}}x=0{{/formula}}, kein Funktionsgraph); das Spiegelbild der positiv orientierten y-Achse wiederum ist die positiv orientierte x-Achse; das Spiegelbild der Normalparabel ({{formula}}y=x^2{{/formula}}, ein Funktionsgraph) sind die beiden Wurzeläste ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}) zusammengenommen (kein Funktionsgraph). Betrachten wir das dritte Beispiel genauer: Um aus der Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} rechnerisch die Gleichung {{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}} zu ermitteln, löst man zunächst die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} nach {{formula}}x{{/formula}} auf und tauscht dann in der erhaltenen Gleichung {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}} noch die Variablen gegeneinander aus ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}).
151 151  
152 -Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Funktionsgraphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
69 +Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Graphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
153 153  [[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
154 154  
155 155  (% class="abc" %)
Po-ShenLoh_Quadratic.png
Author
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1 -XWiki.martinrathgeb
Größe
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Inhalt
Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png
Author
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1 -XWiki.martinrathgeb
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Inhalt
Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png
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1 -XWiki.martinrathgeb
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