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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
	3	+{{aufgabe id="Darstellungswechsel nach Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
	4	+Die Normalparabel ist Funktionsgraph //der// quadratischen Potenzfunktion. Transformationen (vgl. Merkhilfe, S. 4) der Normalparabel liefern Funktionsgraphen mit Parabelgleichung in Scheitelform. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige Hauptform, das ist zumeist eine //Linearkombination// der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur Produktform ist schwieriger.
	5	+
	6	+//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
	7	+(% class="border slim" %)
	8	+|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
	9	+
	10	+//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
	11	+(% class="border slim" %)
	12	+|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
	13	+
	14	+//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
	15	+
	16	+(% class="abc" %)
	17	+1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) die Produktform der Funktionsgleichung.
	18	+1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
	19	+1. {{formula}}f(x)=x^2-14x+22{{/formula}}
	20	+1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
	21	+1. {{formula}}f(x)=x^2-8x+13{{/formula}}
	22	+1. {{formula}}f(x)=x^2+6x-4{{/formula}}
	23	+1. {{formula}}f(x)=2x^2-4x-5 {{/formula}}
	24	+
	25	+)))
	26	+1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
	27	+//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
	28	+{{/aufgabe}}
	29	+
3	3	{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
4	4	(% class="abc" %)
5	5	1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
...	...	@@ -22,47 +22,6 @@
22	22	)))
23	23	{{/aufgabe}}
24	24
25		-{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
26		-In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
27		-(% class="border slim" %)
28		-|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
29		-|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
30		-|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31		-|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
32		-
33		-Die Normalparabel ist Funktionsgraph //der// quadratischen Potenzfunktion. Transformationen (vgl. Merkhilfe, S. 4) der Normalparabel liefern Funktionsgraphen mit Parabelgleichung in Scheitelform. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige Hauptform, das ist zumeist eine //Linearkombination// der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur Produktform ist schwieriger, aber auf verschiedene Weisen zugänglich. Wir folgen hier dem Darstellungswechsel nach //Po-Shen Loh//.
34		-
35		-//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
36		-(% class="border slim" %)
37		-|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
38		-
39		-//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
40		-(% class="border slim" %)
41		-|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
42		-
43		-//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
44		-
45		-(% class="abc" %)
46		-1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//.
47		-1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
48		-1. {{formula}}y=x^2-14x+22{{/formula}}
49		-1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
50		-1. {{formula}}y=x^2-8x+13{{/formula}}
51		-1. {{formula}}y=x^2+6x-4{{/formula}}
52		-1. {{formula}}y=2x^2-4x-5 {{/formula}}
53		-
54		-)))
55		-1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
56		-//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
57		-1. (((Begründe, dass gilt:
58		-i. {{formula}}x_S=\frac{p}{2}{{/formula}}
59		-ii. {{formula}}x_S=\frac{b}{2a}{{/formula}}
60		-iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}
61		-iv. {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
62		-)))
63		-1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
64		-{{/aufgabe}}
65		-
66	66	{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
67	67	IN PROGRESS
68	68	In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.