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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,6 +1,6 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
	3	+{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
4	4	(% class="abc" %)
5	5	1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
6	6	(% class="border slim" %)
...	...	@@ -22,14 +22,16 @@
22	22	)))
23	23	{{/aufgabe}}
24	24
25		-{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
	25	+{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
26	26	In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
27	27	(% class="border slim" %)
28		-|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
29	29	|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
	29	+|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
30	30	|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31	31	|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
32	32
	33	+Die //Normalparabel// ist Funktionsgraph //der// quadratischen Potenzfunktion ({{formula}}y=x^2{{/formula}}). Ihre //Transformationen// (vgl. Merkhilfe, S. 4) liefern Funktionsgraphen mit Parabelgleichung in //Scheitelform//. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige //Hauptform//, das ist zumeist eine //Linearkombination// der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur //Produktform// ist schwieriger, aber auf verschiedene Weisen zugänglich. Wir folgen hier dem Darstellungswechsel nach //Po-Shen Loh//.
	34	+
33	33	//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
34	34	(% class="border slim" %)
35	35	|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
...	...	@@ -36,31 +36,56 @@
36	36
37	37	//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
38	38	(% class="border slim" %)
39		-|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}} |{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]]
40		-|(Video 27:00)|(Video 33:11)
	41	+|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
41	41
	43	+//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
	44	+
42	42	(% class="abc" %)
43		-1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//. Folge in Vorgehen und Darstellung obigen Beispielen (dem konkreten und dem allgemeinen).
	46	+1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//.
44	44	1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
45		-1. {{formula}}y=x^2-14x+24{{/formula}}
	48	+1. {{formula}}y=x^2-14x+22{{/formula}}
	49	+1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
46	46	1. {{formula}}y=x^2-8x+13{{/formula}}
47	47	1. {{formula}}y=x^2+6x-4{{/formula}}
48	48	1. {{formula}}y=2x^2-4x-5 {{/formula}}
49		-1. {{formula}}y=3x^2-7x+12{{/formula}}
50	50
51	51	)))
	55	+1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
	56	+//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
52	52	1. (((Begründe, dass gilt:
53		-i. {{formula}}\frac{b}{a}=p{{/formula}} und {{formula}}\frac{c}{a}=q{{/formula}}
54		-ii. {{formula}}2x_S=x_1+x_2=-p{{/formula}} und {{formula}}x_1\cdot x_2=q{{/formula}}
55		-iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
	58	+i. {{formula}}x_S=\frac{p}{2}{{/formula}}
	59	+ii. {{formula}}x_S=\frac{b}{2a}{{/formula}}
	60	+iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}
	61	+iv. {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
56	56	)))
57	57	1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
58		-1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
59		-//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
60		-Die //Normalparabel// ist Funktionsgraph der quadratischen Potenzfunktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}}. Die kanonischen //Transformationen// (Spiegelung, Streckung, Verschiebung jeweils bezogen auf die orientierten Koordinatenachsen; vgl. Merkhilfe, S. 4) der Normalparabel liefern weitere Parabeln als Funktionsgraphen mit Parabelgleichungen in //Scheitelform//. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige //Hauptform//, das ist zumeist eine Linearkombination der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur //Produktform// ist schwieriger, aber auf verschiedene Weisen zugänglich. Wir folgten hier dem Darstellungswechsel nach //Po-Shen Loh//.
61		-Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
62	62	{{/aufgabe}}
63	63
	66	+{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
	67	+IN PROGRESS
	68	+In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
	69	+(% class="border slim" %)
	70	+|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
	71	+|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
	72	+|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
	73	+|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
	74	+
	75	+(% class="abc" %)
	76	+1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
	77	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
	78	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
	79	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
	80	+
	81	+)))
	82	+1. (((Erläutere, inwiefern {{formula}}\ldots{{/formula}}
	83	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}} die //Hauptform// und die //Produktform// zwei Spezialfälle der //Punkt-Steigungs-Form// sind.
	84	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}} nur die //Allgemeine Form// diese Bezeichnung mit Recht trägt; vgl. dazu a).
	85	+
	86	+)))
	87	+1. Berechne aus den Parametern {{formula}}x_0, y_0{{/formula}} der Achsenabschnittsform die Steigung {{formula}}m{{/formula}}.
	88	+{{/aufgabe}}
	89	+
	90	+
64	64	{{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
65	65	Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
66	66