Zum Inhalt springen

Änderungen von Dokument BPE 2 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/01/12 20:03
Von Version 190.1
bearbeitet von Martin Rathgeb
am 2025/01/07 21:49
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version
Auf Version 110.1
bearbeitet von Martin Rathgeb
am 2025/01/05 15:03
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,66 +1,5 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
4 -(% class="abc" %)
5 -1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
6 -(% class="border slim" %)
7 -| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
8 -|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
9 -| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
10 -
11 -)))
12 -1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
13 -1. (((//Lage//.
14 -i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
15 -ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
16 -iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
17 -)))
18 -1. (((//Kovariation//.
19 -i. Steigung {{formula}}b{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}}
20 -ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
21 -)))
22 -)))
23 -{{/aufgabe}}
24 -
25 -{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
26 -In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
27 -(% class="border" %)
28 -|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
29 -|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
30 -|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31 -|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
32 -
33 -(% class="abc" %)
34 -1. //Formen untersuchen//. Bestimme für jede Gleichungsform, welche charakteristischen Größen der Parabel sich direkt ablesen lassen; siehe hierzu das vorausgegangene Arithmagon.
35 -1. //Formeln entdecken//. Untersuche die Gleichungsformen im Hinblick auf Zusammenhänge; instruktiv ist der //Koeffizientenvergleich// mit der "Gestreckten Normalform".
36 -1. (((//Formeln begründen//. Folgende Tabelle gibt einen Überblick über Beziehungen zwischen den Parametern, wobei die Kurz-Bezeichnung {{formula}}}y_S^*=\frac{y_S}{a}{{/formula}} verwendet wurde.
37 -1. Welche Beziehungen lassen sich anhand der Gleichungsformen schnell begründen?
38 -1. Welche Zusammenhänge zwischen Beziehungen lassen sich schnell begründen?
39 -
40 -)))
41 -(% class="border" %)
42 -|Nr. |Von |Zu |Beziehungen
43 -|1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}}
44 -|2 |pq-Form |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}}
45 -|3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}}
46 -|4 |pq-Form |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}}
47 -|5 |Produktform |pq-Form |{{formula}}p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2{{/formula}}
48 -|6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}}
49 -1. //Formeln anwenden//. Ergänze die Leerstellen in folgender Tabelle.
50 -(% class="border" %)
51 -|Nr. |Hauptform |Scheitelform |Produktform
52 -|1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} | |
53 -|2 | |{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} |
54 -|3 | | |{{formula}}y = (x + 2)(x + 2){{/formula}}
55 -|4 |{{formula}}y = -(x^2 - 4x + 1){{/formula}} | |
56 -|5 | |{{formula}}y = -\pi(x - \pi)^2{{/formula}} |
57 -|6 | | |{{formula}}y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}){{/formula}}
58 -|7 |{{formula}}y = 2(x^2 + 2x + 5){{/formula}} | |
59 -|8 | |{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} |
60 -|9 | | |{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
61 -1. //Formeln begründen//. Zeige die Beziehungen zwischen den Parametern; vgl. obige Tabelle.
62 -{{/aufgabe}}
63 -
64 64  {{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
65 65  Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
66 66  
... ... @@ -127,7 +127,7 @@
127 127  Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die //Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden//, das ist die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch {{formula}}(x|y)\mapsto (y|x){{/formula}}, d.h., die Umkehrung {{formula}}y\mapsto x{{/formula}} der Zuordnung {{formula}}x\mapsto y{{/formula}}.
128 128  Dazu drei Beispiele: Das Spiegelbild der positiv orientierten x-Achse ({{formula}}y=0{{/formula}}, ein Funktionsgraph) ist die positiv orientierte y-Achse ({{formula}}x=0{{/formula}}, kein Funktionsgraph); das Spiegelbild der positiv orientierten y-Achse wiederum ist die positiv orientierte x-Achse; das Spiegelbild der Normalparabel ({{formula}}y=x^2{{/formula}}, ein Funktionsgraph) sind die beiden Wurzeläste ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}) zusammengenommen (kein Funktionsgraph). Betrachten wir das dritte Beispiel genauer: Um aus der Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} rechnerisch die Gleichung {{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}} zu ermitteln, löst man zunächst die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} nach {{formula}}x{{/formula}} auf und tauscht dann in der erhaltenen Gleichung {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}} noch die Variablen gegeneinander aus ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}).
129 129  
130 -Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Funktionsgraphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
69 +Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Graphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
131 131  [[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
132 132  
133 133  (% class="abc" %)
Po-ShenLoh_Quadratic.png
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.martinrathgeb
Größe
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -98.4 KB
Inhalt
Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.martinrathgeb
Größe
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -828.1 KB
Inhalt
Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.martinrathgeb
Größe
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -612.4 KB
Inhalt