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Änderungen von Dokument BPE 2 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/01/12 20:03
Von Version 78.1
bearbeitet von Dirk Tebbe
am 2024/11/14 16:22
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bearbeitet von Martin Rathgeb
am 2024/12/23 00:49
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
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1 -XWiki.dirktebbe
1 +XWiki.martinrathgeb
Inhalt
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1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 3  {{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
4 -Kay legt täglich den Weg vom Bahnhof zur Schule zurück. Er kennt aus der Physik die Formel: {{formula}}v= \frac{s}{t}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in m/sec). Er weiß, dass die Schule vom Bahnhof 1 km entfernt liegt und er bei gemütlichem Gehen 15 Minuten braucht.
5 -
6 -
7 - (% style="width:min-content" %)
8 -|=t [min]|1|2|5|10|15
9 -|=v [m/s]|||||
10 -
4 +Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
11 11  
12 12  (% style="list-style: alphastyle" %)
13 -1. Berechne die mittlere Geschwindigkeit von Paul auf seinem Schulweg.
14 -1. Manchmal läuft Paul schneller, manchmal langsamer. Ergänze die obige Tabelle, in welcher der Zusammenhang zwischen Zeit und Geschwindigkeit dargestellt wird.
15 -1. Paul trägt an einem Morgen seine Sportuhr. Diese zeigt ihm als Tempo {{formula}} 8 min/km{{/formula}} an. Welcher Geschwindigkeit entspricht diese Anzeige?
16 - Stelle die von dir ausgefüllte Tabelle in einem Koordinatensystem graphisch dar.
7 +1. Erstelle die Funktion {{formula}}t{{/formula}}, die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/h beschreibt.
17 17  1. Bestimme die Definitionslücke der Funktion {{formula}}t{{/formula}}.
18 18  1. Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.
19 19  1. Zeichne den Graphen der Funktion {{formula}}t{{/formula}} und markiere die Definitionslücke.
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69 69  {{/lehrende}}
70 70  {{/aufgabe}}
71 71  
63 +
64 +{{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}
65 +Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen an den Achsen gibt es eine besondere Transformation, die in ihrer Bedeutung oft übersehen wird: die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, d.h., an der Geraden mit Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Transformation ist weit mehr als eine Spielerei, denn sie führt direkt zur Bestimmung der Umkehrfunktion einer gegebenen Funktion.
66 +
67 +Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.
68 +
69 +{{formula}}
70 +\begin{align*}
71 +y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\
72 +x=\sqrt{y}\;\;
73 +{{/formula}}
74 +Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.
75 +{{formula}}
76 +y=\sqrt{x}
77 +\end{align*}
78 +{{/formula}}
79 +
80 +(% class="abc" %)
81 +1. Bestimme nun die an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelten Funktionen für folgende Beispiele:
82 +
83 +1. Zeichne außerdem die gespiegelten Graphen und überprüfe, wie sich diese zur Winkelhalbierenden verhalten.
84 +1. Die in a) berechneten Funktionen nennt man Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}). Untersuche den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}} für {{formula}}y=f(x){{/formula}} und beschreibe, was dir auffällt.
85 +1. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion //f// verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
86 +[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
87 +{{/aufgabe}}
88 +
89 +{{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden (alt)" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder" zeit="12" cc="BY-SA"}}
90 +Neben der Spiegelung an der x- und y- Achse kann man auch an der ersten Winkelhalbierenden (gegeben durch y=x) einen Funktionsgraphen spiegeln. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.
91 +
92 +{{formula}}
93 +\begin{align*}
94 +y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\
95 +x=\sqrt{y}\;\;
96 +{{/formula}}
97 +Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.
98 +{{formula}}
99 +y=\sqrt{x}
100 +\end{align*}
101 +{{/formula}}
102 +
103 +(% class="abc" %)
104 +1. Bestimme die an der ersten Winkelhabierenden gespiegelten Funktionen {{formula}} f(x)=\frac{1}{x}; g(x)= \frac{1}{x^2} {{/formula}} und {{formula}} h(x)= \frac{2\,x+3}{-4\,x-2}{{/formula}}. Hinweis: {{formula}}x >0{{/formula}}
105 +1. Bestimme graphisch den an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelten Graphen zu den drei dargestellten Graphen.
106 +1. Die in a) berechneten Funktionen nennt man auch Umkehrfunktionen (Abkürzung {{formula}} f^{-1}{{/formula}} ) . Berechne den Funktionsterm {{formula}} f^{-1}(f(x)){{/formula}}. Beschreibe deine Beobachtung. Hinweis: Setze dazu den Term der Funktionsgleichung {{formula}}f(x){{/formula}} in die in a) berechnete Umkehrfunktion {{formula}} f^{-1}{{/formula}} ein und fasse zusammen.
107 +1. Begründe mit Hilfe deiner Lösungen von a) und b) wieso der Definitionsbereich der Funktion {{formula}} f
108 +{{/formula}} verkleinert werden muss, wenn man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion berechnet.
109 +
110 +[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
111 +{{/aufgabe}}
112 +
72 72  {{matrix/}}
Einheitsuebergreifend2.png
Author
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1 +XWiki.niklaswunder
Größe
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1 +22.7 KB
Inhalt
XWiki.XWikiComments[0]
Autor
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1 +XWiki.dirktebbe
Datum
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1 +2024-11-15 09:31:25.560
XWiki.XWikiComments[1]
Autor
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1 +XWiki.dirktebbe
Kommentar
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1 +Bei der Aufgabe "Weg zur Schule" ist die Anwendungssituation mit Zeit gegen null wenig sinnvoll. Es entstehen dabei Geh-Geschwindigkeiten, die von Menschen nicht machbar sind. Zudem trifft der Begriff Definitionslücke nicht zu. Es geht vielmehr um ein offenes Intervall von null bis unendlich. Der Versuch die Aufgabe zu überarbeiten ist mir nicht gelungen. In Rücksprache mit weiteren Gruppenmitgliedern nehme ich die Aufgabe vorläufig aus dem Arbeitsheft.
Datum
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1 +2024-11-15 09:38:04.365