Änderungen von Dokument BPE 2 Einheitsübergreifend

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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

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1		-XWiki.dirktebbe
	1	+XWiki.martinrathgeb

Inhalt

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60	60	{{/lehrende}}
61	61	{{/aufgabe}}
62	62
	63	+
	64	+{{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}
	65	+Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen an den Achsen gibt es eine besondere Transformation, die in ihrer Bedeutung oft übersehen wird: die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, d.h., an der Geraden mit Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Transformation ist weit mehr als eine Spielerei, denn sie führt auf die Umkehrung der Funktion.
	66	+
	67	+Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.
	68	+
	69	+{{formula}}
	70	+\begin{align*}
	71	+y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\
	72	+x=\sqrt{y}\;\;
	73	+{{/formula}}
	74	+Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.
	75	+{{formula}}
	76	+y=\sqrt{x}
	77	+\end{align*}
	78	+{{/formula}}
	79	+
	80	+Betrachte die folgenden drei Funktionsgleichungen mit Graphen: {{formula}}f(x)=2x{{/formula}}, {{formula}}f(x)=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}f(x)=x^3{{/formula}}.
	81	+[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
	82	+(% class="abc" %)
	83	+1. Löse {{formula}}f(x)=y{{/formula}} nach Ersetzung des Funktionswerts {{formula}}f(x){{/formula}} durch den jeweiligen Funktionsterm nach //x// auf; du erhältst damit für //x// einen Funktionsterm in //y//.
	84	+1. Zeichne die Paare von Graphen und untersuche, wie sie zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
	85	+1. Die in a) berechneten Terme sind die Funktionsterme der Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}). Untersuche jeweils den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, in dem du {{formula}}f(x){{/formula}} für //y// einsetzt und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
	86	+1. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion //f// verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
	87	+{{/aufgabe}}
	88	+
63	63	{{matrix/}}

Einheitsuebergreifend2.png

Author

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	1	+XWiki.niklaswunder

Größe

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	1	+22.7 KB

Inhalt