Änderungen von Dokument Lösung Formen von Parabelgleichungen

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -24,13 +24,14 @@
24	24	|8 |{{formula}}y=-\frac{3}{2}(x^2-4x+4){{/formula}}|{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} | {{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}}
25	25	|9 |{{formula}}y=\sqrt{2}(x^2-5x+6){{/formula}}|{{formula}}y = \sqrt{2}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{\sqrt{2}}{4}{{/formula}}|{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
26	26	)))
27		-1. (((__Zeile 1 (Scheitelform zur gestreckten Normalform)__:
	27	+1. (((
	28	+__Zeile 1 (Scheitelform zur gestreckten Normalform)__:
28	28	Umformen der Scheitelform ergibt:
29	29	{{formula}}
30	30	\begin{align*}
31	31	y&=a(x-x_S)^2+y_S \quad \mid \text{2. binomische Formel}\\
32	32	&= a(x^2-2x_Sx+x_S^2)+y_S \\
33		- &=a(x^2-2x_Sx+x_S^2+\frac{y_S}{a})
	34	+ &=a\left(x^2-2x_Sx+x_S^2+\frac{y_S}{a}\right)
34	34	\end{align*}
35	35	{{/formula}}
36	36
...	...	@@ -41,4 +41,54 @@
41	41	Umstellen von {{formula}}q=x_S^2+y_S^*{{/formula}} nach {{formula}}y_S{{/formula}} führt zu {{formula}}y_S=-\frac{p^2}{4}+q{{/formula}}
42	42
43	43	//Alternativ kommt man mit quadratischer Ergänzung von der gestreckten Normalform zur Scheitelform und kann Zeile 2 so begründen.//
	45	+
	46	+__Zeile 3 (Scheitelform zur Produktform)__:
	47	+Um zur Produktform zu gelangen, bestimmen wir die Nullstellen der Scheitelform:
	48	+{{formula}}
	49	+\begin{align*}
	50	+a(x-x_S)^2+y_S&=0 \\
	51	+\Leftrightarrow a\left((x-x_S)^2+\frac{y_S}{a}\right)&=0 \\
	52	+\Leftrightarrow (x-x_S)^2+y_S^*&=0 \\
	53	+\Leftrightarrow (x-x_S)^2&=-y_S^* \\
	54	+\end{align*}
	55	+{{/formula}}
	56	+
	57	+Durch Wurzelziehen erhalten wir:
	58	+{{formula}}
	59	+\begin{align*}
	60	+x-x_S&=\pm \sqrt{-y_S^*} \quad \mid +x_S\\
	61	+\Leftrightarrow x_{1,2}&=x_S\pm \sqrt{-y_S^*}
	62	+\end{align*}
	63	+{{/formula}}
	64	+
	65	+__Zeile 4 (Gestreckte Normalform zur Produktform)__:
	66	+Um zur Produktform zu gelangen, bestimmen wir mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) die Nullstellen der gestreckten Normalform:
	67	+{{formula}}
	68	+\begin{align*}
	69	+&a(x^2+px+q)=0 \\
	70	+&\Leftrightarrow x^2+px+q=0 \\
	71	+&\Rightarrow x_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4\cdot1\cdot q}}{2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}
	72	+\end{align*}
	73	+{{/formula}}
	74	+
	75	+//Alternativ kann man die Gleichungen aus Zeile 2 ({{formula}}x_S=-\frac{p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=-\frac{p^2}{4}+q{{/formula}}) in die Gleichungen in Zeile 3 ein, um die Gleichungen in Zeile 4 zu erhalten.//
	76	+
	77	+__Zeile 5 (Produktform zur gestreckten Normalform)__:
	78	+Ausmultiplizieren führt zu
	79	+{{formula}}
	80	+\begin{align*}
	81	+y&=a(x-x_1)(x-x_2) \\
	82	+&=a (x^2-xx_2-xx_1+x_1x_2) \\
	83	+&=a(x^2+x(-x_2-x_1)+x_1x_2)
	84	+\end{align*}
	85	+{{/formula}}
	86	+
	87	+Koeffizientenvergleich liefert {{formula}}p=(-x_2-x_1)=-(x_1+x_2){{/formula}} und {{formula}}q=x_1x_2{{/formula}}.
	88	+
	89	+__Zeile 6 (Produktform zur Scheitelform)__:
	90	+Die Nullstellen {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} sind direkt aus der Produkform ablesbar.
	91	+Wir wissen, dass der Scheitelpunkt der Parabel in der Mitte der beiden Nullstellen liegen muss. Das heißt der x-Wert des Scheitelpunktes ist gegeben durch {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}.
	92	+Um nun den zugehörigen y-Wert des Scheitelpunktes zu erhalten, setzen wir {{formula}}x_S{{/formula}} in die Gleichung der Produktform ein:
	93	+{{formula}}y_S=a(x_S-x_1)(x_S-x_2)=a\left(\frac{x_2-x_1}{2}\right)\left(-\frac{x_2-x_1}{2}\right)=a\cdot \left(-\frac{(x_2-x_1)^2}{4}\right){{/formula}}
	94	+Somit ist {{formula}}y_S^*=\frac{y_S}{a}= -\frac{(x_2-x_1)^2}{4}{{/formula}}.
44	44	)))