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Version 5.1 von akukin am 2025/09/03 16:09
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akukin 1.1 1 (%class=abc%)
2 1. (((Folgende Größen lassen sich direkt ablesen:
3 Scheitelform: Scheitelpunkt {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}}
4 Hauptform: y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}}
5 Produktform: Nullstellen {{formula}}x_1,x_2{{/formula}}
6 Gestrecke Normalform: Streckfaktor {{formula}}a{{/formula}}
7 )))
8 1. (((Siehe Tabelle in Teilaufgabe c). )))
akukin 2.1 9 1. (((Es lassen sich beispielsweise folgende Zusammenhänge erkennen:
akukin 1.1 10 * Die Zeilen 1 und 2 sind invers zu einander, das heißt, wenn man die Gleichungen in Zeile 1 nach {{formula}}x_S{{/formula}} und {{formula}}y_S{{/formula}} umstellt, so erhält man die Gleichungen in Zeile 2 und andersrum genauso.
11 * Die Zeilen 4 und 5 sind invers zu einander
12 * Setzt man die Gleichungen aus Zeile 2 in die Gleichungen in Zeile 3 ein, so erhält man die Gleichungen in Zeile 4
13 )))
14 1. (((//Formeln anwenden//. Ergänze die Leerstellen in folgender Tabelle.
15 (% class="border" %)
16 |Nr. |Gestreckte Normalform |Scheitelform |Produktform
17 |1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} |{{formula}}y=(x-2)^2-1{{/formula}} | {{formula}}y=(x-1)(x-3){{/formula}}
18 |2 |{{formula}}y=x^2-2x+5{{/formula}}|{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} | ↯
akukin 2.1 19 |3 |{{formula}}y=x^2+4x+4{{/formula}}|{{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}}|{{formula}}y = (x + 2)(x + 2)=(x + 2)^2{{/formula}}
akukin 1.1 20 |4 |{{formula}}y = -(x^2 - 4x + 1){{/formula}} |{{formula}}y=-(x-2)^2+3{{/formula}}|{{formula}}y=-(x-(2+\sqrt{3})(x-(2-\sqrt{3})){{/formula}}
21 |5 |{{formula}}y=-\pi(x^2-2\pi x+\pi^2){{/formula}}|{{formula}}y = -\pi(x - \pi)^2{{/formula}} | {{formula}}y=-\pi(x-\pi)^2{{/formula}}
22 |6 |{{formula}}y=-(x^2+2x+5){{/formula}}|{{formula}}y=-(x+1)^2+2{{/formula}}|{{formula}}y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}){{/formula}}
23 |7 |{{formula}}y = 2(x^2 + 2x + 5){{/formula}} |{{formula}}y=2(x+1)^2+8{{/formula}}|↯
24 |8 |{{formula}}y=-\frac{3}{2}(x^2-4x+4){{/formula}}|{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} | {{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}}
25 |9 |{{formula}}y=\sqrt{2}(x^2-5x+6){{/formula}}|{{formula}}y = \sqrt{2}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{\sqrt{2}}{4}{{/formula}}|{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
26 )))
akukin 4.1 27 1. (((
28 __Zeile 1 (Scheitelform zur gestreckten Normalform)__:
akukin 2.1 29 Umformen der Scheitelform ergibt:
30 {{formula}}
31 \begin{align*}
32 y&=a(x-x_S)^2+y_S \quad \mid \text{2. binomische Formel}\\
33 &= a(x^2-2x_Sx+x_S^2)+y_S \\
akukin 5.1 34 &=a\left(x^2-2x_Sx+x_S^2+\frac{y_S}{a}\right)
akukin 2.1 35 \end{align*}
36 {{/formula}}
37
38 Koeffizientenvergleich mit {{formula}}y=a(x^2+px+q){{/formula}} liefert {{formula}}p=-2x_S{{/formula}} und {{formula}}q=x_S^2+\frac{y_S}{a}=x_S^2+y_S^*{{/formula}}
39
40 __Zeile 2 (Gestreckte Normalform zur Scheitelform)__:
41 Umstellen von {{formula}}p=-2x_S{{/formula}} nach {{formula}}x_S{{/formula}} führt zu {{formula}}x_S=-\frac{p}{2}{{/formula}}
42 Umstellen von {{formula}}q=x_S^2+y_S^*{{/formula}} nach {{formula}}y_S{{/formula}} führt zu {{formula}}y_S=-\frac{p^2}{4}+q{{/formula}}
43
44 //Alternativ kommt man mit quadratischer Ergänzung von der gestreckten Normalform zur Scheitelform und kann Zeile 2 so begründen.//
akukin 3.1 45
46 __Zeile 3 (Scheitelform zur Produktform)__:
47 Um zur Produktform zu gelangen, bestimmen wir die Nullstellen der Scheitelform:
48 {{formula}}
49 \begin{align*}
akukin 4.1 50 a(x-x_S)^2+y_S&=0 \\
51 \Leftrightarrow a\left((x-x_S)^2+\frac{y_S}{a}\right)&=0 \\
52 \Leftrightarrow (x-x_S)^2+y_S^*&=0 \\
53 \Leftrightarrow (x-x_S)^2&=-y_S^* \\
akukin 3.1 54 \end{align*}
55 {{/formula}}
56
57 Durch Wurzelziehen erhalten wir:
58 {{formula}}
59 \begin{align*}
akukin 4.1 60 x-x_S&=\pm \sqrt{-y_S^*} \quad \mid +x_S\\
61 \Leftrightarrow x_{1,2}&=x_S\pm \sqrt{-y_S^*}
akukin 3.1 62 \end{align*}
63 {{/formula}}
64
akukin 4.1 65 __Zeile 4 (Gestreckte Normalform zur Produktform)__:
akukin 5.1 66 Um zur Produktform zu gelangen, bestimmen wir mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) die Nullstellen der gestreckten Normalform:
67 {{formula}}
68 a(x^2+px+q)=0 \\
69 \Leftrightarrow x^2+px+q=0 \\
70 \RIghtarrow x_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4\cdot1\cdotq}}{2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}
71 {{/formula}}
akukin 4.1 72
akukin 5.1 73 //Alternativ kann man die Gleichungen aus Zeile 2 ({{formula}}x_S=-\frac{p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=-\frac{p^2}{4}+q{{/formula}}) in die Gleichungen in Zeile 3 ein, um die Gleichungen in Zeile 4 zu erhalten.//
74
akukin 4.1 75 __Zeile 5 (Produktform zur gestreckten Normalform)__:
76 Ausmultiplizieren führt zu
77 {{formula}}
78 \begin{align*}
79 y&=a(x-x_1)(x-x_2) \\
80 &=a (x^2-xx_2-xx_1+x_1x_2) \\
81 &=a(x^2+x(-x_2-x_1)+x_1x_2)
82 \end{align*}
83 {{/formula}}
84
akukin 5.1 85 Koeffizientenvergleich liefert {{formula}}p=(-x_2-x_1)=-(x_1+x_2){{/formula}} und {{formula}}q=x_1x_2{{/formula}}.
akukin 4.1 86
akukin 3.1 87 __Zeile 6 (Produktform zur Scheitelform)__:
88 Die Nullstellen {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} sind direkt aus der Produkform ablesbar.
89 Wir wissen, dass der Scheitelpunkt der Parabel in der Mitte der beiden Nullstellen liegen muss. Das heißt der x-Wert des Scheitelpunktes ist gegeben durch {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}.
90 Um nun den zugehörigen y-Wert des Scheitelpunktes zu erhalten, setzen wir {{formula}}x_S{{/formula}} in die Gleichung der Produktform ein:
akukin 4.1 91 {{formula}}y_S=a(x_S-x_1)(x_S-x_2)=a\left(\frac{x_2-x_1}{2}\right)\left(-\frac{x_2-x_1}{2}\right)=a\cdot \left(-\frac{(x_2-x_1)^2}{4}\right){{/formula}}
akukin 3.1 92 Somit ist {{formula}}y_S^*=\frac{y_S}{a}= -\frac{(x_2-x_1)^2}{4}{{/formula}}.
akukin 2.1 93 )))