Änderungen von Dokument Lösung Kosten- und Erlösfunktion

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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1	1	(%class=abc%)
2	2	1. Das Schaubild der Erlösfunktion ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung 10.
3	3	Um das Schaubild der Erlösfunktion zu zeichnen, erstellen wir (mit dem Taschenrechner) eine Wertetabelle und zeichnen die Punkte ins Koordinatensystem und verbinden sie anschließend.
	4	+[[image:ErlösundKostenfunktion.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
	5	+1. (((Da sich die Graphen der beiden Funktionen __in etwa__ an den Stellen {{formula}}x=1{{/formula}} und {{formula}}x=8{{/formula}} schneiden, sind Kosten und Erlös an beiden Stellen __ungefähr__ gleich groß.
	6	+Alternativ sehen wir auch durch Rechnung, dass die Funktionswerte an beiden Stellen __fast__ gleich groß sind:
4	4
	8	+{{formula}}
	9	+\begin{align}
	10	+K(1)&=0,2\cdot 1^3-1^2+4\cdot1+8=0,2-1+4+8 \\
	11	+ &=11,2 \\
	12	+&\approx E(1)=10\cdot1=10
	13	+\end{align}
	14	+{{/formula}}
	15	+
	16	+{{formula}}
	17	+\begin{align}
	18	+K(8)&=0,2\cdot 8^3-8^2+4\cdot8+8=102,4-64+32+8 \\
	19	+ &=78,4 \\
	20	+ &\approx E(8)=10\cdot8=80
	21	+\end{align}
	22	+{{/formula}}
	23	+
	24	+)))
	25	+1. (((Wir erhalten die Gewinnfunktion {{formula}}G{{/formula}}, indem wir vom Erlös die Kosten abziehen, das heißt
	26	+
	27	+{{formula}}
	28	+\begin{align}
	29	+G(x)&=E(x)-K(x) \\
	30	+ &=10x-(0,2x^3-x^2+4x+8)=10x-0,2x^3+x^2-4x-8 \\
	31	+ &=-0,2x^3+x^2+6x+8
	32	+\end{align}
	33	+{{/formula}}
	34	+
	35	+Mit einer Wertetabelle können wir feststellen, dass die Funktion {{formula}}G(x){{/formula}} ihr Maximum bei etwa (5|38) hat (Genauer bei etwa (5,24|38,16)).
	36	+
	37	+Der maximale Gewinn beträgt also 38 GE.
	38	+)))
	39	+1. ((( Es gilt {{formula}}K_{neu}(1)=10=E(1){{/formula}} und {{formula}}K_{neu}(8)=80,14\approx 80=E(8){{/formula}}. Somit sind für 1 ME und 8 ME Kosten und Erlös gleich groß. Die Gewinnzone liegt also unverändert zwischen {{formula}}x=1{{/formula}} und{{formula}}x=8{{/formula}}.
	40	+
	41	+Die neue Gewinnfunktion ist
	42	+
	43	+{{formula}}
	44	+\begin{align}
	45	+G(x)&=E(x)-K(x) \\
	46	+ &=10x-(1,88x^2-6,9x+15,02)=10x-1,88x^2+6,9x-15,02 \\
	47	+ &=-1,88x^2+16,9x-15,02
	48	+\end{align}
	49	+{{/formula}}
	50	+
	51	+Wir berechnen die Nullstellen der Funktion {{formula}}G(x){{/formula}} mit der Mitternachtsformel:
	52	+
	53	+{{formula}}
	54	+\begin{aligned}
	55	+x_{1,2}&=\frac{-16,9\pm\sqrt{16,9^2-4\cdot(-1,88)\cdot (-15,02)}{2\cdot (-1,88)} \\
	56	+ &=\frac{-16,9\pm 13,14}{-3,76} \\
	57	+x_1&=\frac{-16,9+13,14}{-3,76}=\frac{-3,76}{-3,76}=1 \\
	58	+x_2&=\frac{-16,9-13,14}{-3,76}=\frac{-30,04}{-3,76}\approx 7,99
	59	+\end{aligned}
	60	+{{/formula}}
	61	+
	62	+Das Maximum liegt genau zwischen den beiden Nullstellen der Funktion, das heißt an der Stelle {{formula}}x=\frac{1+7,99}{2}=4,495{{/formula}}.
	63	+
	64	+{{formula}}G(4,495)\approx 22,96{{/formula}}
	65	+
	66	+Der maximale Gewinn beträgt also in etwa 22,96 GE und bleibt somit nicht gleich.
	67	+
	68	+//Alternativ kann man den maximalen Gewinn auch wieder mit Hilfe einer Wertetabelle bestimmen.//
	69	+
	70	+)))
	71	+