Änderungen von Dokument Lösung Musterklassenarbeit Aufgabe 5

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Inhalt

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1		-a) Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass die linke Seite der Gleichung genau dann 0 ist, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
2		-Der Faktor {{formula}}(2x-2){{/formula}} wird 0 für {{formula}}x=1{{/formula}} ({{formula}}2x-2=0 \ \Leftrightarrow \ 2x=2 \ \Leftrightarrow \ x=1{{/formula}}).
	1	+a) Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass die linke Seite der Gleichung genau dann 0 ist, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist. Der Faktor {{formula}}(2x-2){{/formula}} wird 0 für {{formula}}x=1{{/formula}} ({{formula}}2x-2=0 \ \Leftrightarrow \2x=2 \ \Leftrightarrow \ x=1{{/formula}}).
3	3	Der Faktor {{formula}}(x+4){{/formula}} wird 0 für {{formula}}x=-4{{/formula}} ({{formula}}x+4=0 \ \Leftrightarrow \ x=-4{{/formula}}).
4	4
5	5	Somit sind die Lösungen der Gleichung {{formula}}x_1=1{{/formula}} und {{formula}}x_2=-4{{/formula}} jeweils mit Vielfachheit 1.
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20	20
21	21	{{formula}}
22	22	\begin{align}
23		-& \quad \quad 3x^2+4 &&=\frac{1}{2}x+4 \quad \mid -4 \\
24		-& \Leftrightarrow 3x^2 &&=\frac{1}{2}x \quad \ \ \quad \mid -\frac{1}{2}x \\
	22	+& \quad \quad 3x^2+4 &&=\frac{1}{2}x+4 &\mid -4 \\
	23	+& \Leftrightarrow 3x^2 &&=\frac{1}{2}x &\mid -\frac{1}{2}x \\
25	25	& \Leftrightarrow 3x^2 -\frac{1}{2}x &&= 0 \\
26		-& \Leftrightarrow x \left(3x-\frac{1}{2}\right) &&=0
	25	+& \Leftrightarrow x(3x-\frac{1}{2}) &&=0
27	27	\end{align}
28	28	{{/formula}}
29	29
30	30	Mit dem Satz vom Nullprodukt ergibt sich {{formula}}x_1=0{{/formula}} und {{formula}}x_2=\frac{1}{6}{{/formula}} ({{formula}} 3x-\frac{1}{2}=0 \ \Leftrightarrow \ 3x=\frac{1}{2} \ \Leftrightarrow \ x=\frac{1}{6}{{/formula}}).
31	31	Die Lösungen besitzen beide die Vielfachheit 1.
32		-
33		-d) Ausmultiplizieren liefert {{formula}}x^2(3x^2-10)+3 = 3x^4-10x^2+3 = 0{{/formula}}.
34		-Nun substituieren wir {{formula}}x^2{{/formula}} mit {{formula}}z{{/formula}}, wodurch wir die Gleichung {{formula}}3z^2-10z+3=0{{/formula}} erhalten, auf die sich die Mitternachtsformel anwenden lässt:
35		-
36		-{{formula}}
37		-\begin{align}
38		-z_{1,2} &=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3}}{2\cdot 3} \\
39		-&= \frac{10\pm\sqrt{100-36}}{6} \\
40		-&= \frac{10\pm\sqrt{64}}{6} \\
41		-&= \frac{10\pm 8}{6}
42		-\end{align}
43		-{{/formula}}
44		-
45		-Somit ist {{formula}}z_1=\frac{10+8}{6}=3{{/formula}} und {{formula}}z_2=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}{{/formula}}.
46		-
47		-Resubstitution ergibt {{formula}}x^2=z \ \Leftrightarrow \ x=\pm\sqrt{z}{{/formula}} und somit:
48		-{{formula}}x_{1,2}=\pm\sqrt{3}{{/formula}} und {{formula}}x_{3,4}= \pm\sqrt{\frac{1}{3}}{{/formula}}.
49		-
50		-Die Nullstellen besitzen jeweils die Vielfachheit 1.