Änderungen von Dokument Lösung Symmetrie Parameter bestimmen

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Inhalt

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1	1	Bestimme einen Zahlenwert {{formula}}a{{/formula}} so, dass der Graph symmetrisch zum Koordinatenursprung oder zur y-Achse ist.
2	2
3		-Für Symmetrie zur y-Achse gilt: {{formula}}f(x)=f(-x){{/formula}}
4		-Für Symmetrie zum Ursprung gilt: {{formula}}f(x)=-f(-x){{/formula}}
	3	+Für Achsensymmetrie zur y-Achse gilt: {{formula}}f(x)=f(-x){{/formula}}
	4	+Für Punktsymmetrie zum Ursprung gilt: {{formula}}f(x)=-f(-x){{/formula}}
5	5
	6	+Es gibt hier zwei mögliche Herangehensweisen. Man kann es rein rechnerisch angehen, indem man obige Bedingungen prüft. Alternativ kann man die Nullstellen und deren Vielfachheiten heranziehen.
	7	+
6	6	(% style="list-style:alphastyle" %)
7	7	1. ((({{formula}}f(x)=x+a{{/formula}}
8		-Check auf Achsensymmetrie: {{formula}}f(-x)=-x+a \neq x+a{{/formula}}
9		-Check auf Punktsymmetrie: {{formula}}-f(-x)=-(-x+a)=x-a \rightarrow x+a = x-a{{/formula}} für {{formula}}a=0{{/formula}}
	10	+Check y-Achse: {{formula}}f(-x)=-x+a \neq x+a{{/formula}} ↯
	11	+Check Ursprung: {{formula}}-f(-x)=-(-x+a)=x-a \rightarrow x+a = x-a{{/formula}} für {{formula}}a=0{{/formula}}
10	10	)))
11		-b) ((({{formula}}f(x)=(x+1)\cdot(x-a){{/formula}}
12		-Check auf Achsensymmetrie: {{formula}}f(-x)=(-x+1)\cdot(-x-a) = x^2+(a-1)x-a \neq (x+1)\cdot(x-a){{/formula}}
13		-Check auf Punktsymmetrie: {{formula}}-f(-x)=-(-x+1)\cdot(-x-a) = -x^2-(a-1)x+a \neq (x+1)\cdot(x-a){{/formula}}
	13	+1. ((({{formula}}f(x)=(x+1)(x-a){{/formula}}
	14	+Check y-Achse: {{formula}}f(-x)=(-x+1)(-x-a) = -(-x+1)(x+a) = (x-1)(x+a) \rightarrow (x+1)(x-a) = (x-1)(x+a){{/formula}} für {{formula}}a=1{{/formula}}
	15	+Check Ursprung: {{formula}}-f(-x)=-(-x+1)(-x-a) = (-x+1)(x+a) \neq (x+1)(x-a){{/formula}}
14	14	)))
15		-c) {{formula}}f(x)=x\cdot (x+a)^2{{/formula}}
16		-d) {{formula}}f(x)=x\cdot (x^2+a){{/formula}}
	17	+1. ((({{formula}}f(x)=x(x+a)^2{{/formula}}
	18	+Ein Weg, hier auf Symmetrien zu prüfen, ist, den Term zunächst auszumultiplizieren:
	19	+{{formula}}f(x)=x^3+2ax^2+a^2x{{/formula}}
	20	+Der Grad ist 3 und damit ungerade. Es kommt also nur eine Punktsymmetrie zum Ursprung in Frage. Wir bilden {{formula}}-f(-x){{/formula}}:
	21	+{{formula}}-f(-x)=-((-x)^3+2a(-x)^2+a^2(-x))=-(-x^3+2ax^2-a^2x)=x^3-2ax^2+a^2x{{/formula}}
	22	+Der zweite Summand hat ein anderes Vorzeichen. Dieser muss rausfliegen, damit die Punktsymmetrie vorliegen kann. Das ist der Fall für {{formula}}a=0{{/formula}}
	23	+)))
	24	+1. ((({{formula}}f(x)=x(x^2+a){{/formula}}
	25	+Auch hier ist der Grad der Polynomfktion 3 und es kommt nur die Punktsymmetrie zum Ursprung in Frage:
	26	+{{formula}}-f(-x)=-(-x((-x)^2+a))=x(x^2+a){{/formula}}
	27	+Auf das //a// kommt es nicht an. Der Funktionsgraph ist also für beliebige //a// punktsymmetrisch zum Ursprung.
	28	+)))
	29	+