Änderungen von Dokument BPE 3.4 Polynomgleichungen

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Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

@@ -1,1 +1,1 @@
--XWiki.martinawagner
++XWiki.martinrathgeb

Inhalt

@@ -1,56 +1,129 @@
--{{box cssClass="floatinginfobox" title="**Contents**"}}
--{{toc start=2 depth=2 /}}
--{{/box}}
++{{seiteninhalt/}}
--=== Kompetenzen ===
--
  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine Polynomgleichung zu lösen
  [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Polynomgleichung begründen
  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Polynomgleichungen algebraisch lösen
--[[Kompetenzen.K5]], [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren
--[[Kompetenzen.K5]], [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
--[[Kompetenzen.K5]], [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen
++[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren
++[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
++[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen
++{{lernende}}
++**KMap** [[Strategietrainer>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Ganzrationale%20Funktionen/Polynomgleichungen#erkunden]]
++{{/lernende}}
--{{aufgabe afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA"}}
--Bestimmen Sie die Lösungen folgender Gleichungen:
++{{aufgabe id="Lösen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="14"}}
++Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen {{formula}}x\in\mathbb{R}{{/formula}} ohne Taschenrechner:
++(% class="abc" %)
++1. {{formula}}0=-x^3-4096{{/formula}}
++1. {{formula}}0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8){{/formula}}
++1. {{formula}}0=x^4-2x^2-35 {{/formula}}
++1. {{formula}}(x^2-4)(x-3)=0{{/formula}}
++1. {{formula}}x^3+x^2-\frac{3}{4}x=0{{/formula}}
++1. {{formula}}x^3+3x^2-4=3x^2+9x-4{{/formula}}
++{{/aufgabe}}
++{{aufgabe id="Lösung in Abhängigkeit von a" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Stefanie Schmidt" cc="BY-SA" zeit="4"}}
++Bestimme {{formula}}a\in\mathbb{R}{{/formula}} so, dass die Gleichung genau zwei Lösungen hat.
++{{formula}}(x^2-4)(x-a)=0{{/formula}}
++{{/aufgabe}}
--    a) {{formula}}0=-x^3-4096{{/formula}}
++{{aufgabe id="Nullstellen" afb="I" kompetenzen=" K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2017/abitur/pools2017/mathematik/grundlegend/2017_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]
++Teil 1 Aufgabe 2 a" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="4"}}
++Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = x^3+2x^2{{/formula}}. Bestätige, dass {{formula}}x_1=-2{{/formula}} und {{formula}} x_2=0{{/formula}} die einzigen Nullstellen von //f// sind.
++{{/aufgabe}}
--    b) {{formula}}0=x^2 (x+3)(x-3)(x-8){{/formula}}
--
--    c) {{formula}}0=x^4-2x^2-35 {{/formula}}
--
++{{aufgabe id="Schnittstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_1.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}
++Gegeben sind die in R definierten Funktionen {{formula}}  g:x \mapsto x^2-3{{/formula}} und {{formula}} h:x \mapsto-x^2+2x+1{{/formula}}.
++
++Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für {{formula}} x=-1{{/formula}} und {{formula}}x=2{{/formula}} schneiden.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe afb="I" kompetenzen=" K5" quelle="IQB 2019 Analysis gAN Teil 2 CAS" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
--Gegeben ist die in R definierte Funktion {{formula}} f:x  x^3+2x^2{{/formula}}.
--Bestätigen Sie, dass {{formula}}x_1=-2 {{/formula}} und {{formula}} x_2=0 {{/formula}} die einzigen Nullstellen von f sind.
++{{aufgabe id="Schnittstellen Polynom-Gerade" afb="II" kompetenzen="K2, K5, K4" quelle="[[IQB e.V.>>https://iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}
++Gegeben ist die in Funktion f mit {{formula}}f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1{{/formula}}.
++Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=1{{/formula}} schneidet.
++{{/aufgabe}}
++{{aufgabe id="Grad und Nullstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K6, K4" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="5"}}
++Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:
++
++a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen {{formula}} 5 {{/formula}} und {{formula}}-5 {{/formula}} besitzt.
++b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe afb="II" kompetenzen="K3, K5" quelle="IQB 2019 Analysis gAN Teil 2 WTR" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
--Im Rahmen eines Tests läuft ein Sportler auf einem Laufband. Dabei wird bei ansteigender Geschwindigkeit jeweils die Konzentration sogenannter Laktate im Blut gemessen.
--Die Abhängigkeit der Laktatkonzentration von der Geschwindigkeit kann für {{formula}}8,5\leq x \leq 17,5{{/formula}} modellhaft durch die Funktion //k// beschrieben werden mit:
++{{aufgabe id="Grad 6 eine Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="10"}}
++Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.
++{{/aufgabe}}
++{{aufgabe id="Rückwärts lösen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
++(% class="abc" %)
++1. ((({{{ }}}
++
  {{formula}}
--k(x) = \frac{1}{40}(x^{3}-30x^{2}+288x-815)
++\begin{align*}
++\square x^3+\square &= 0\\
++\square x^3 &=\square\quad \left| :2\\
++x^3 &= \square \\
++x &= -2
++\end{align*}
  {{/formula}}
++)))
++1. ((({{{ }}}
--Dabei ist {{formula}}x{{/formula}} die Geschwindigkeit des Sportlers in Kilometer pro Stunde und //k// die Laktatkonzentration in Millimol pro Liter {{formula}}\frac{mmol}{l}{{/formula}}. Berechnen Sie im Modell für den Geschwindigkeitsbereich von 12 bis 17,5 {{formula}}\frac{km}{h}{{/formula}} die mittlere Änderungsrate der Laktatkonzentration.
--{{/aufgabe}}
++{{formula}}
++\begin{align*}
++2x^3+\square x^2 &= 0 \\
++\square (x-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
++\end{align*}
++{{/formula}}
--{{aufgabe afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="Abi 2012 Anwendung, modifiziert"}}
--Ein Kondensator ist ein Bauteil, das elektrische Ladung speichert. Der Ladevorgang eines Kondensators wird im Labor untersucht. Zum Zeitpunkt t = 0 beginnt der Aufladevorgang. Die Stärke des elektrischen Stroms, der beim Aufladen fließt, wird gemessen. Die Messwerte sind in folgender Tabelle zusammengefasst:
++{{formula}}\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6{{/formula}}
++)))
++1. ((({{{ }}}
--(% style="width:min-content" %)
--|=Zeit [s]|1,0|2,4|4,8|7,2|9,6
--|=Stromstärke [mA]|9,0|6,0|3,0|1,5|0,75
++{{formula}}\begin{align*}
++x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\
++z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
++\end{align*}
++{{/formula}}
--Ermitteln Sie einen Zeitraum beim Ladevorgang, in der die durchschnittliche Änderungsrate der Stromstärke halb so groß ist wie im Zeitraum von 2,4 s bis 4,8 s!
++{{formula}}
++\begin{align*}
++\Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
++z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}
++\end{align*}
++{{/formula}}
++
++{{formula}}
++\begin{align*}
++&\text{Resubst.: } \square := x^2\\
++&x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\
++&x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
++\end{align*}
++{{/formula}})))
  {{/aufgabe}}
--((({{seitenreflexion kompetenzen="3" anforderungsbereiche="1" kriterien="2" menge="1"/}})))
++{{aufgabe id="Einfache Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
++Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: {{formula}}-a < -b{{/formula}}
++Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.
++Sara möchte zu beiden Seiten {{formula}}a+b{{/formula}} addieren.
++Paul möchte beide Seiten mit  {{formula}}-1{{/formula}} multiplizieren.
++Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.
++{{/aufgabe}}
++{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
++Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}3x^2+12x+9\le0{{/formula}}
++(% class="abc" %)
++1. Löse die Ungleichung graphisch
++1. Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.
++{{/aufgabe}}
++{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
++Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=3x^2+12x+9{{/formula}} unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: {{formula}}-(3x^2+12x+9)>0{{/formula}}
++{{/aufgabe}}
++
++{{lehrende}}
++K3 wird in BPE 3.5 abgedeckt.
++Es fehlt eine Aufgabe zu einem numerischen Lösungsverfahren.
++{{/lehrende}}
++
++{{seitenreflexion kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}

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