Änderungen von Dokument BPE 3.4 Polynomgleichungen

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Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

@@ -1,1 +1,1 @@
--XWiki.martinrathgeb
++XWiki.kickoff

Inhalt

@@ -1,133 +1,70 @@
  {{seiteninhalt/}}
++=== Kompetenzen ===
++
  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine Polynomgleichung zu lösen
  [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Polynomgleichung begründen
  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Polynomgleichungen algebraisch lösen
--[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren
--[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
--[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen
++[[Kompetenzen.K5]], [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren
++[[Kompetenzen.K5]], [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
++[[Kompetenzen.K5]], [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen
--{{lernende}}
--**KMap** [[Strategietrainer>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Ganzrationale%20Funktionen/Polynomgleichungen#erkunden]]
--{{/lernende}}
--{{aufgabe id="Lösen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="14"}}
--Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen {{formula}}x\in\mathbb{R}{{/formula}} ohne Taschenrechner:
--(% class="abc" %)
--1. {{formula}}0=-x^3-4096{{/formula}}
--1. {{formula}}0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8){{/formula}}
--1. {{formula}}0=x^4-2x^2-35 {{/formula}}
--1. {{formula}}(x^2-4)(x-3)=0{{/formula}}
--1. {{formula}}x^3+x^2-\frac{3}{4}x=0{{/formula}}
--1. {{formula}}x^3+3x^2-4=3x^2+9x-4{{/formula}}
--{{/aufgabe}}
++{{aufgabe afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA"}}
++Bestimmen Sie die Lösungen folgender Gleichungen:
--{{aufgabe id="Lösung in Abhängigkeit von a" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Stefanie Schmidt" cc="BY-SA" zeit="4"}}
--Bestimme {{formula}}a\in\mathbb{R}{{/formula}} so, dass die Gleichung genau zwei Lösungen hat.
--{{formula}}(x^2-4)(x-a)=0{{/formula}}
++
++    a) {{formula}}0=-x^3-4096{{/formula}}
++
++    b) {{formula}}0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8){{/formula}}
++
++    c) {{formula}}0=x^4-2x^2-35 {{/formula}}
++
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Nullstellen" afb="I" kompetenzen=" K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2017/abitur/pools2017/mathematik/grundlegend/2017_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]
--Teil 1 Aufgabe 2 a" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="4"}}
--Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = x^3+2x^2{{/formula}}. Bestätige, dass {{formula}}x_1=-2{{/formula}} und {{formula}} x_2=0{{/formula}} die einzigen Nullstellen von //f// sind.
++{{aufgabe afb="I" kompetenzen=" K5" quelle="IQB 2017 Analysis grundlegendes Niveau Teil 1 Aufgabe 2 a" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
++Gegeben ist die in R definierte Funktion {{formula}}f:x \mapsto x^3+2x^2{{/formula}}.
++Bestätigen Sie, dass {{formula}}x_1=-2 {{/formula}} und {{formula}} x_2=0 {{/formula}} die einzigen Nullstellen von f sind.
++
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Schnittstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_1.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}
++{{aufgabe afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="IQB 2019 Analysis grundlegendes
++Niveau Teil 1 Aufgabe 1" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
  Gegeben sind die in R definierten Funktionen {{formula}}  g:x \mapsto x^2-3{{/formula}} und {{formula}} h:x \mapsto-x^2+2x+1{{/formula}}.
  Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für {{formula}} x=-1{{/formula}} und {{formula}}x=2{{/formula}} schneiden.
--{{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Schnittstellen Polynom-Gerade" afb="II" kompetenzen="K2, K5, K4" quelle="[[IQB e.V.>>https://iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}
--Gegeben ist die in Funktion f mit {{formula}}f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1{{/formula}}.
--Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=1{{/formula}} schneidet.
--{{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Grad und Nullstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K6, K4" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="5"}}
--Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:
--a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen {{formula}} 5 {{/formula}} und {{formula}}-5 {{/formula}} besitzt.
--b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Grad 6 eine Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="10"}}
--Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.
--{{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Rückwärts lösen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
--(% class="abc" %)
--1. ((({{{ }}}
++{{aufgabe afb="II" kompetenzen="K2, K5, K4" quelle="IQB 2019 Analysis grundlegendes
++Niveau Teil 1 Aufgabe 2" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
++Gegeben ist die in Funktion f mit {{formula}}f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1{{/formula}}.
++Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=1{{/formula}} schneidet.
--{{formula}}
--\begin{align*}
--\square x^3+\square &= 0\\
--\square x^3 &=\square\quad \left| :2\\
--x^3 &= \square \\
--x &= -2
--\end{align*}
--{{/formula}}
--)))
--1. ((({{{ }}}
--{{formula}}
--\begin{align*}
--2x^3+\square x^2 &= 0 \\
--\square (x-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
--\end{align*}
--{{/formula}}
++{{/aufgabe}}
--{{formula}}\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6{{/formula}}
--)))
--1. ((({{{ }}}
++{{aufgabe afb="II" kompetenzen="K1, K6, K4" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
++Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:
--{{formula}}\begin{align*}
--x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\
--z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
--\end{align*}
--{{/formula}}
++    a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen {{formula}} 5 {{/formula}} und {{formula}}-5 {{/formula}} besitzt.
++    b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.
--{{formula}}
--\begin{align*}
--\Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
--z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}
--\end{align*}
--{{/formula}}
--{{formula}}
--\begin{align*}
--&\text{Resubst.: } \square := x^2\\
--&x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\
--&x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
--\end{align*}
--{{/formula}})))
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Einfache Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
--Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: {{formula}}-a < -b{{/formula}}
--Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.
--Sara möchte zu beiden Seiten {{formula}}a+b{{/formula}} addieren.
--Paul möchte beide Seiten mit  {{formula}}-1{{/formula}} multiplizieren.
--Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.
--{{/aufgabe}}
++{{aufgabe afb="III" kompetenzen="K2, K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
++Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und
++durch Substitution gelöst werden kann.
--{{aufgabe id="Vergleich Verfahren Ungleichungen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Fachlehrkraft" lizenz="BY-SA"}}
--Erläutere die drei grundlegenden Verfahren zur Lösung von Polynomungleichungen - das \emph{tabellarische}, das \emph{graphische} und das \emph{rechnerische} Verfahren - je einzeln und im Vergleich miteinander:
--{{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
--Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}3x^2+12x+9\le0{{/formula}}
--(% class="abc" %)
--1. Löse die Ungleichung graphisch
--1. Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.
--{{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
--Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=3x^2+12x+9{{/formula}} unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: {{formula}}-(3x^2+12x+9)>0{{/formula}}
  {{/aufgabe}}
--{{lehrende}}
--K3 wird in BPE 3.5 abgedeckt.
--Es fehlt eine Aufgabe zu einem numerischen Lösungsverfahren.
--{{/lehrende}}
--{{seitenreflexion kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
++((({{seitenreflexion kompetenzen="3" anforderungsbereiche="1" kriterien="2" menge="1"/}})))
++
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