BPE 3.4 Polynomgleichungen

[[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine Polynomgleichung zu lösen

[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Polynomgleichung begründen

[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Polynomgleichungen algebraisch lösen

[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren

[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren

8

[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen

9

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11

**KMap** [[Strategietrainer>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Ganzrationale%20Funktionen/Polynomgleichungen#erkunden]]

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13

14

Numerisches Lösungsverfahren

15

16

{{aufgabe id="Lösen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="14"}}

17

Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen {{formula}}x\in\mathbb{R}{{/formula}} ohne Taschenrechner:

18

(% class="abc" %)

19

1. {{formula}}0=-x^3-4096{{/formula}}

20

1. {{formula}}0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8){{/formula}}

21

1. {{formula}}0=x^4-2x^2-35 {{/formula}}

22

1. {{formula}}(x^2-4)(x-3)=0{{/formula}}

23

1. {{formula}}x^3+x^2-\frac{3}{4}x=0{{/formula}}

24

1. {{formula}}x^3+3x^2-4=3x^2+9x-4{{/formula}}

25

26

27

{{aufgabe id="Lösung in Abhängigkeit von a" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Stefanie Schmidt" cc="BY-SA" zeit="4"}}

28

Bestimme {{formula}}a\in\mathbb{R}{{/formula}} so, dass die Gleichung genau zwei Lösungen hat.

29

{{formula}}(x^2-4)(x-a)=0{{/formula}}

30

31

32

{{aufgabe id="Nullstellen" afb="I" kompetenzen=" K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2017/abitur/pools2017/mathematik/grundlegend/2017_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]

33

Teil 1 Aufgabe 2 a" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="4"}}

34

Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = x^3+2x^2{{/formula}}. Bestätige, dass {{formula}}x_1=-2{{/formula}} und {{formula}} x_2=0{{/formula}} die einzigen Nullstellen von //f// sind.

35

36

37

{{aufgabe id="Schnittstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_1.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}

38

Gegeben sind die in R definierten Funktionen {{formula}} g:x \mapsto x^2-3{{/formula}} und {{formula}} h:x \mapsto-x^2+2x+1{{/formula}}.

39

40

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für {{formula}} x=-1{{/formula}} und {{formula}}x=2{{/formula}} schneiden.

41

42

43

{{aufgabe id="Schnittstellen Polynom-Gerade" afb="II" kompetenzen="K2, K5, K4" quelle="[[IQB e.V.>>https://iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}

44

Gegeben ist die in Funktion f mit {{formula}}f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1{{/formula}}.

45

Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=1{{/formula}} schneidet.

46

47

48

{{aufgabe id="Grad und Nullstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K6, K4" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="5"}}

49

Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:

50

51

a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen {{formula}} 5 {{/formula}} und {{formula}}-5 {{/formula}} besitzt.

52

b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.

53

54

55

{{aufgabe id="Grad 6 eine Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="10"}}

56

Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.

57

58

59

{{aufgabe id="Rückwärts lösen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}

(% class="abc" %)

1. ((({{{ }}}

\begin{align*}

\square x^3+\square &= 0\\

66

\square x^3 &=\square\quad \left| :2\\

x^3 &= \square \\

x &= -2

\end{align*}

)))

1. ((({{{ }}}

\begin{align*}

2x^3+\square x^2 &= 0 \\

77

\square (x-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }

\end{align*}

{{formula}}\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6{{/formula}}

)))

1. ((({{{ }}}

{{formula}}\begin{align*}

86

x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\

87

z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &

\end{align*}

\begin{align*}

\Rightarrowz_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\

94

z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}

\end{align*}

\begin{align*}

&\text{Resubst.: } \square := x^2\\

101

&x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\

102

&x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2

\end{align*}

{{/formula}})))

{{aufgabe id="Einfache Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}

108

Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: {{formula}}-a < -b{{/formula}}

109

Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.

110

Sara möchte zu beiden Seiten {{formula}}a+b{{/formula}} addieren.

111

Paul möchte beide Seiten mit {{formula}}-1{{/formula}} multiplizieren.

112

Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.

113

114

115

{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}

116

Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}3x^2+12x+9\le0{{/formula}}

117

(% class="abc" %)

118

1. Löse die Ungleichung graphisch

119

1. Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.

120

121

122

{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}

123

Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=3x^2+12x+9{{/formula}} unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: {{formula}}-(3x^2+12x+9)>0{{/formula}}

124

125

126

{{lehrende}}K3 wird in BPE 3.5 abgedeckt.{{/lehrende}}

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128

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		3	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine Polynomgleichung zu lösen
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		14	Numerisches Lösungsverfahren
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		16	{{aufgabe id="Lösen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="14"}}
		17	Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen {{formula}}x\in\mathbb{R}{{/formula}} ohne Taschenrechner:
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