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Wiki-Quellcode von BPE 3.4 Polynomgleichungen

Version 67.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/06 20:37
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine Polynomgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Polynomgleichung begründen
5 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Polynomgleichungen algebraisch lösen
6 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren
7 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
8 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen
9
10 {{lernende}}
11 **KMap** [[Strategietrainer>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Ganzrationale%20Funktionen/Polynomgleichungen#erkunden]]
12 {{/lernende}}
13
14 {{aufgabe id="Lösen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="14"}}
15 Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen {{formula}}x\in\mathbb{R}{{/formula}} ohne Taschenrechner:
16 (% class="abc" %)
17 1. {{formula}}0=-x^3-4096{{/formula}}
18 1. {{formula}}0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8){{/formula}}
19 1. {{formula}}0=x^4-2x^2-35 {{/formula}}
20 1. {{formula}}(x^2-4)(x-3)=0{{/formula}}
21 1. {{formula}}x^3+x^2-\frac{3}{4}x=0{{/formula}}
22 1. {{formula}}x^3+3x^2-4=3x^2+9x-4{{/formula}}
23 {{/aufgabe}}
24
25 {{aufgabe id="Lösung in Abhängigkeit von a" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Stefanie Schmidt" cc="BY-SA" zeit="4"}}
26 Bestimme {{formula}}a\in\mathbb{R}{{/formula}} so, dass die Gleichung genau zwei Lösungen hat.
27 {{formula}}(x^2-4)(x-a)=0{{/formula}}
28 {{/aufgabe}}
29
30 {{aufgabe id="Nullstellen" afb="I" kompetenzen=" K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2017/abitur/pools2017/mathematik/grundlegend/2017_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]
31 Teil 1 Aufgabe 2 a" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="4"}}
32 Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = x^3+2x^2{{/formula}}. Bestätige, dass {{formula}}x_1=-2{{/formula}} und {{formula}} x_2=0{{/formula}} die einzigen Nullstellen von //f// sind.
33 {{/aufgabe}}
34
35 {{aufgabe id="Schnittstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_1.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}
36 Gegeben sind die in R definierten Funktionen {{formula}} g:x \mapsto x^2-3{{/formula}} und {{formula}} h:x \mapsto-x^2+2x+1{{/formula}}.
37
38 Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für {{formula}} x=-1{{/formula}} und {{formula}}x=2{{/formula}} schneiden.
39 {{/aufgabe}}
40
41 {{aufgabe id="Schnittstellen Polynom-Gerade" afb="II" kompetenzen="K2, K5, K4" quelle="[[IQB e.V.>>https://iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}
42 Gegeben ist die in Funktion f mit {{formula}}f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1{{/formula}}.
43 Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=1{{/formula}} schneidet.
44 {{/aufgabe}}
45
46 {{aufgabe id="Grad und Nullstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K6, K4" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="5"}}
47 Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:
48
49 a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen {{formula}} 5 {{/formula}} und {{formula}}-5 {{/formula}} besitzt.
50 b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.
51 {{/aufgabe}}
52
53 {{aufgabe id="Grad 6 eine Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="10"}}
54 Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.
55 {{/aufgabe}}
56
57 {{aufgabe id="Rückwärts lösen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
58 (% class="abc" %)
59 1. ((({{{ }}}
60
61 {{formula}}
62 \begin{align*}
63 \square x^3+\square &= 0\\
64 \square x^3 &=\square\quad \left| :2\\
65 x^3 &= \square \\
66 x &= -2
67 \end{align*}
68 {{/formula}}
69 )))
70 1. ((({{{ }}}
71
72 {{formula}}
73 \begin{align*}
74 2x^3+\square x^2 &= 0 \\
75 \square (x-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
76 \end{align*}
77 {{/formula}}
78
79 {{formula}}\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6{{/formula}}
80 )))
81 1. ((({{{ }}}
82
83 {{formula}}\begin{align*}
84 x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\
85 z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
86 \end{align*}
87 {{/formula}}
88
89 {{formula}}
90 \begin{align*}
91 \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
92 z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}
93 \end{align*}
94 {{/formula}}
95
96 {{formula}}
97 \begin{align*}
98 &\text{Resubst.: } \square := x^2\\
99 &x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\
100 &x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
101 \end{align*}
102 {{/formula}})))
103 {{/aufgabe}}
104
105 {{aufgabe id="Einfache Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
106 Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: {{formula}}-a < -b{{/formula}}
107 Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.
108 Sara möchte zu beiden Seiten {{formula}}a+b{{/formula}} addieren.
109 Paul möchte beide Seiten mit {{formula}}-1{{/formula}} multiplizieren.
110 Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.
111 {{/aufgabe}}
112
113 {{aufgabe id="Verfahren Ungleichungen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Martin Rathgeb" lizenz="BY-SA"}}
114 Vergleiche die drei grundlegenden Verfahren zur Lösung von Polynomungleichungen miteinander, erläutere sie dafür zunächst je einzeln.
115 (% class="abc" %)
116 1. das tabellarische Verfahren,
117 1. das graphische Verfahren,
118 1. das rechnerische Verfahren.
119 {{/aufgabe}}
120
121 {{aufgabe id="Anwendung drei Verfahren" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Fachlehrkraft" lizenz="BY-SA"}}
122 Gegeben ist die Polynomfunktion
123
124 {{formula}}f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12{{/formula}}.
125
126 Untersuche, für welche Werte von //x// die Ungleichung
127
128 {{formula}}f(x) \le 0{{/formula}}
129
130 gilt.
131
132 Verwende zur Lösung die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung von Polynomungleichungen.
133 (% class="abc" %)
134 1. Bearbeite die Aufgabe zunächst tabellarisch: Erstelle eine Wertetabelle, berechne geeignete Funktionswerte (z. B. für ganzzahlige //x//-Werte im Bereich von –3 bis +5) und schätze daraus die Lösung der Ungleichung näherungsweise ab.
135 1. Bearbeite die Aufgabe graphisch: Skizziere den Graphen der Funktion (z. B. mithilfe der Wertetabelle oder des GTR/WTR) und ermittle daraus die Lösungsmenge visuell.
136 1. Bearbeite die Aufgabe rechnerisch: Bestimme die Nullstellen von //f// und analysiere das Vorzeichenverhalten mithilfe eines Intervallschemas.
137 {{/aufgabe}}
138
139 {{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
140 Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}3x^2+12x+9\le0{{/formula}}
141 (% class="abc" %)
142 1. Löse die Ungleichung graphisch
143 1. Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.
144 {{/aufgabe}}
145
146 {{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
147 Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=3x^2+12x+9{{/formula}} unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: {{formula}}-(3x^2+12x+9)>0{{/formula}}
148 {{/aufgabe}}
149
150 {{lehrende}}
151 K3 wird in BPE 3.5 abgedeckt.
152 Es fehlt eine Aufgabe zu einem numerischen Lösungsverfahren.
153 {{/lehrende}}
154
155 {{seitenreflexion kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}