Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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1		-**Die drei Verfahren: tabellarisch, graphisch, rechnerisch**
	1	+**Aufgabenstellung:**
	2	+Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
	3	+
	4	+**Lösungsschritte:**
2	2	(% class="abc" %)
3		-1. \textbf{Tabellarisch:} Erstellen wir eine Wertetabelle für ganzzahlige Werte von //x// zwischen –3 und 5:
	6	+1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).//
4	4
5		-| x | f(x) |
6		-|-----|------------------|
7		-| –3 | –66 |
8		-| –2 | –38 |
9		-| –1 | –18 |
10		-| 0 | 12 |
11		-| 1 | 6 |
12		-| 2 | –4 |
13		-| 3 | 0 |
14		-| 4 | 4 |
15		-| 5 | 2 |
	8	+**Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
	9	+(% class="border slim" %)
	10	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
	11	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}
16	16
17		-Einerseits gilt {{formula}}f(3)=0{{/formula}}; andererseits zeigen sich zwei Vorzeichenwechsel: Für {{formula}}x{{/formula}} zwischen –1 und 0 wird {{formula}}f(x){{/formula}} positiv, für {{formula}}x{{/formula}} zwischen 1 und 2 wird {{formula}}f(x){{/formula}} negativ.
18		-Das deutet auf drei Nullstellen und zwei Teilbereiche mit {{formula}}f(x)\le 0{{/formula}} hin.
	13	+**Interpretation:**
	14	+Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
19	19
20		-1. \textbf{Graphisch:} \\
21		-Die Funktion ist ein Polynom dritten Grades mit positivem Leitkoeffizienten, d.h. sie fällt im linken Randbereich, erreicht ein lokales Minimum, steigt wieder an. Der Graph schneidet die x-Achse dreimal. Die Bereiche unterhalb der x-Achse lassen sich am Graphen ablesen und entsprechen den Abschnitten zwischen zwei Nullstellen. Visuell ergibt sich eine Lösungsmenge in zwei Intervallen.
	16	+2. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).//
22	22
23		-1. \textbf{Rechnerisch:} \\
24		-Wir bestimmen die Nullstellen durch Faktorisierung:
	18	+**Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
	19	+(% class="border slim" %)
	20	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
	21	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}
25	25
26		-Zunächst findet man durch Probieren (z. B. mit dem Horner-Schema) eine Nullstelle bei
	23	+**Interpretation:**
	24	+i) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}} kleiner -2, für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen -1 und +1 und für alle {{formula}}x{{/formula}} größer +2.
	25	+ii) Entsprechend gilt {{formula}}f(x)<0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen -1,5 und -1 und für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen +1 und +1,5.
	26	+iii) Hingegen liegt in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}}, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
27	27
28		-{{formula}}x = 2.{{/formula}}
	28	+3. **Graphische Skizze:**
29	29
30		-Polynomdivision von //f(x)// durch //x – 2// ergibt:
	30	+i) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist //symmetrisch zur y-Achse//, denn {{formula}}f{{/formula}} ist //gerade//, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
	31	+ii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} kommt von links //oben// und geht nach rechts //oben//, denn die Vergleichsfunktion von {{formula}}f{{/formula}} ist die Potenzfunktion {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
	32	+iii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse zwischen -2 und -1,5 (VZW +/-), bei {{formula}}x=-1{{/formula}} (VZW -/+), bei {{formula}}x=+1{{/formula}} (VZW +/-) und zwischen +1,5 und +2 (VZW -/+).
	33	+iv) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} zunächst bis zur ersten Nullstelle (zwischen -2 und -1,5 gelegen), weiter zwischen den Nullstellen -1 und +1 und zuletzt ab der vierten Nullstelle (zwischen +1,5 und +2 gelegen).
31	31
32		-{{formula}}f(x) = (x - 2)(x^2 - x - 6) = (x - 2)(x - 3)(x + 2).{{/formula}}
	35	+4. **Rechnerisches Verfahren:**
33	33
34		-Nullstellen:
	37	+i) //Faktorisieren// (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
	38	+ii) //Nullstellen// (jeweils 1-fach): {{formula}}-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}-1{{/formula}}, {{formula}}+1{{/formula}}, {{formula}}+\sqrt{3}{{/formula}}
	39	+iii) //Vorzeichenanalyse://
	40	+iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
	41	+iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
35	35
36		-{{formula}}x = -2,\quad x = 2,\quad x = 3.{{/formula}}
	43	+| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
	44	+| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
	45	+| {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
	46	+| {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
	47	+| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
	48	+| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
37	37
38		-Die Funktion ist als Produkt von drei Linearfaktoren geschrieben. Da der Leitkoeffizient positiv ist, ergibt sich folgender Vorzeichenverlauf (von links nach rechts, d.h. auf der x-Achse betrachtet):
	50	+iv) //Gesuchte Lösung://
	51	+Es ist {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt für alle {{formula}}x\in \mathbb{L}\quad =\quad ]-\infty; -\sqrt{3}[ \quad\cup\quad ]-1; +1[ \quad\cup\quad ]\sqrt{3}; +\infty[{{/formula}}
39	39
40		-| Intervall | Vorzeichen von f(x) |
41		-|-------------------|---------------------|
42		-| //x < –2// | positiv |
43		-| //–2 < x < 2// | negativ |
44		-| //2 < x < 3// | negativ |
45		-| //x > 3// | positiv |
46		-
47		-Daraus folgt:
48		-
49		-**Lösungsmenge:**
50		-
51		-{{formula}}\mathrm{L} = [-2,\ 2] \cup \{3\}{{/formula}}
52		-
53		-(da die Ungleichung //f(x) \le 0// lautet, gehören die Nullstellen zur Lösung dazu).
54		-
55		-**Zusammenfassung:**
56		-
57		-Das tabellarische Verfahren ermöglicht einen ersten Eindruck der Vorzeichenwechsel und motiviert die Erwartung dreier Nullstellen. Die graphische Lösung verdeutlicht das Verhalten des Graphen und visualisiert die gesuchte Lösungsmenge. Die rechnerische Lösung liefert schließlich eine exakte Beschreibung der Intervallstruktur.
58		-
	53	+**Anmerkung:**
	54	+- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
	55	+- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
	56	+- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.