Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -34,9 +34,9 @@
34	34
35	35	4. **Rechnerisches Verfahren:**
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37		-i) Faktorisieren (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
38		-ii) Nullstellen (jeweils 1-fach): {{formula}}-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}-1{{/formula}}, {{formula}}+1{{/formula}}, {{formula}}+\sqrt{3}{{/formula}}
39		-iii) Vorzeichenanalyse:
	37	+i) //Faktorisieren// (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
	38	+ii) //Nullstellen// (jeweils 1-fach): {{formula}}-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}-1{{/formula}}, {{formula}}+1{{/formula}}, {{formula}}+\sqrt{3}{{/formula}}
	39	+iii) //Vorzeichenanalyse://
40	40	iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
41	41	iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
42	42
...	...	@@ -48,29 +48,10 @@
48	48	| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
49	49	| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
50	50
51		-iv) Gesuchte Lösung:
52		-{{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für {{formula}}\mathbb{L}=]-\infty; -\sqrt{3}[ \cup ]-1; +1[ \cup ]\sqrt{3}; +\infty[{{/formula}}
	51	+iv) //Gesuchte Lösung://
	52	+Es ist {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt für alle {{formula}}x\in \mathbb{L}=]-\infty; -\sqrt{3}[\: \cup \:]-1; +1[ \:\cup\: ]\sqrt{3}; +\infty[{{/formula}}
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55		-
56		-5. **Vergleich der Verfahren:**
57		-
58		-- Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
59		-- Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
60		-- Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
61		-
62		-**Didaktisch:**
63		-Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
64		-Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
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66		-{{/loesung}}
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70		-**Zusammenfassung:**
	54	+**Anmerkung:**
71	71	- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
72	72	- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
73	73	- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
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