Lösung Anwendung drei Verfahren

Aufgabenstellung:
Gegeben ist die Polynomfunktion \(f\) mit \(f(x) = x^4 - 4x^2 + 3\). Untersuche, für welche Werte von \(x\) die Ungleichung \(f(x) > 0\) erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:

Lösungsschritte:

1. Tabellarisches Verfahren (Teil 1).

Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):

Interpretation:
Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei \(x = \pm 1\) wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.

2. Tabellarisches Verfahren (Teil 2).

Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):

Interpretation:
i) Also gilt \(f(x)>0\) für alle \(x\) kleiner -2, für alle \(x\) zwischen -1 und +1 und für alle \(x\) größer +2.
ii) Entsprechend gilt \(f(x)<0\) für alle \(x\) zwischen -1,5 und -1 und für alle \(x\) zwischen +1 und +1,5.
iii) Hingegen liegt in den Intervallen \(]-2; -1,5[\) und \(]+1,5; +2[\) jeweils mindestens eine Nullstelle von \(f\), denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.

3. Graphische Skizze:

i) Der Graph von \(f\) ist symmetrisch zur y-Achse, denn \(f\) ist gerade, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion \(f\) auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
ii) Der Graph von \(f\) kommt von links oben und geht nach rechts oben, denn die Vergleichsfunktion von \(f\) ist die Potenzfunktion \(g\) mit \(g(x)=x^4\).
iii) Der Graph von \(f\) schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse zwischen -2 und -1,5 (VZW +/-), bei \(x=-1\) (VZW -/+), bei \(x=+1\) (VZW +/-) und zwischen +1,5 und +2 (VZW -/+).
iv) Also gilt \(f(x)>0\) zunächst bis zur ersten Nullstelle (zwischen -2 und -1,5 gelegen), weiter zwischen den Nullstellen -1 und +1 und zuletzt ab der vierten Nullstelle (zwischen +1,5 und +2 gelegen).

4. Rechnerisches Verfahren:

i) Faktorisieren (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): \(f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3})\)
ii) Nullstellen (jeweils 1-fach): \(-\sqrt{3}\), \(-1\), \(+1\), \(+\sqrt{3}\)
iii) Vorzeichenanalyse://
iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine Teststelle und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.

iv) Gesuchte Lösung:
Es ist \(f(x) > 0\) erfüllt für alle \(x\in \mathbb{L}=]-\infty; -\sqrt{3}[\: \cup \:]-1; +1[ \:\cup\: ]\sqrt{3}; +\infty[\)

Anmerkung:
- Das tabellarische Verfahren zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
- Das graphische Verfahren unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
- Das rechnerische Verfahren liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.