Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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1	1	**Aufgabenstellung:**
2		-Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
	2	+Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) \le 0{{/formula}} gilt: Verwende zur Lösung die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung von Polynomungleichungen.
3	3
4	4	**Lösungsschritte:**
	5	+
5	5	(% class="abc" %)
6		-1. **Tabellarisches Verfahren (Teil 1).**
7	7
8		-//Wertetabelle I.//
	8	+1. **Tabellarisches Verfahren:**
9	9
	10	+Wir berechnen Funktionswerte für ausgewählte ganzzahlige {{formula}}x{{/formula}}-Werte:
	11	+
10	10	(% class="border slim" %)
11		-|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
12		-|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}
	13	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-3{{/formula}}|{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}4{{/formula}}|{{formula}}5{{/formula}}|
	14	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}4{{/formula}}|{{formula}}11{{/formula}}|{{formula}}12{{/formula}}|{{formula}}6{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}20{{/formula}}|{{formula}}52{{/formula}}|
13	13
14		-//Interpretation.//
15		-Die Funktionswerte sind überall nicht-negativ. Bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} ergibt sich jeweils {{formula}}f(x) = 0{{/formula}}. Zwischen den Nullstellen ist das Vorzeichenverhalten noch unklar.
	16	+An der Tabelle erkennen wir:
	17	+- Bei {{formula}}x = -3{{/formula}} liegt eine Nullstelle vor.
	18	+- Zwischen {{formula}}x = 2{{/formula}} und {{formula}}x = 3{{/formula}} gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
	19	+- Zwischen {{formula}}x = 2{{/formula}} und {{formula}}x = 3{{/formula}} gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
	20	+- Zwischen {{formula}}x = 1{{/formula}} und {{formula}}x = 2{{/formula}} liegt eine weitere Nullstelle.
	21	+→ Es gibt mehrere Nullstellen, was auf eine Faktorisierungsmöglichkeit hindeutet.
16	16
17		-2. **Tabellarisches Verfahren (Teil 2).**
	23	+---
18	18
19		-//Wertetabelle II.//
20		-(% class="border slim" %)
21		-|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
22		-|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}
23		-|Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}+{{/formula}} |{{formula}}-{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+{{/formula}}|{{formula}}+{{/formula}}|{{formula}}+{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-{{/formula}}|{{formula}}+{{/formula}}
	25	+2. **Graphisches Verfahren:**
24	24
25		-//Interpretation.//
26		-i) Wir kennen nun nicht nur die beiden Nullstellen {{formula}}x=\pm 1{{/formula}}, sondern wissen auch, dass es in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} noch jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}} gibt, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
27		-ii) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} (vom Grad 4) unter Berücksichtigung der Vielfachheiten nur bis zu 4 reelle Nullstellen. Also sind alle Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}} einfach mit {{formula}}-2<x_1<-1,5{{/formula}}, {{formula}}x_2=-1{{/formula}}, {{formula}}x_3=+1{{/formula}} und {{formula}}+1,5<x_4<2{{/formula}}.
28		-iii) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x<x_1{{/formula}}, für alle {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und für alle {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
	27	+Die Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist ein Polynom 3. Grades mit positivem Leitkoeffizienten. Der Graph verläuft daher typischerweise von links unten nach rechts oben.
	28	+Die Tabelle zeigt, dass der Graph:
	29	+- {{formula}}f(-3) = 0{{/formula}}, also eine Nullstelle bei {{formula}}x = -3{{/formula}},
	30	+- positiv wird bei {{formula}}x = -2{{/formula}} und darüber hinaus,
	31	+- erneut {{formula}}f(2) = 0{{/formula}}, sowie {{formula}}f(3) = 0{{/formula}}.
29	29
30		-3. **Graphische Skizze:**
	33	+→ Die Skizze des Graphen zeigt drei Nullstellen; die Funktion verläuft unterhalb der x-Achse nur zwischen zwei Nullstellen (s. rechnerisch).
31	31
32		-i) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist //symmetrisch zur y-Achse//, denn {{formula}}f{{/formula}} ist //gerade//, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
33		-ii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} kommt von links //oben// und geht nach rechts //oben//, denn das Globalverhalten von {{formula}}f{{/formula}} ist das Globalverhalten der Potenzfunktion {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
34		-iii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse bei {{formula}}x_1{{/formula}} zwischen -2 und -1,5 (mit VZW +/-), bei {{formula}}x_2=-1{{/formula}} (mit VZW -/+), bei {{formula}}x_3=+1{{/formula}} (mit VZW +/-) und bei {{formula}}x_4{{/formula}} zwischen +1,5 und +2 (mit VZW -/+).
35		-iv) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x<x_1{{/formula}}, für alle {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und für alle {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
	35	+---
36	36
37		-4. **Rechnerisches Verfahren:**
	37	+3. **Rechnerisches Verfahren:**
38	38
39		-i) //Faktorisieren// (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
40		-ii) //Nullstellen// (jeweils 1-fach): {{formula}}x_1=-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}x_2=-1{{/formula}}, {{formula}}x_3=+1{{/formula}}, {{formula}}x_4=+\sqrt{3}{{/formula}}
41		-iii) //Vorzeichenanalyse.//
42		-iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
43		-iii.2) Testwertverfahren: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
	39	+Gegeben:
44	44
45		-(% class="border slim" %)
46		-| Intervall | Testwert | {{formula}}f(x){{/formula}}
47		-| {{formula}}x < x_1{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}+{{/formula}}
48		-| {{formula}}x_1 < x < x_2{{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}-{{/formula}}
49		-| {{formula}}x_2 < x < x_3{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}+{{/formula}}
50		-| {{formula}}x_3 < x < x_4{{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}-{{/formula}}
51		-| {{formula}}x > x_4{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}+{{/formula}}
	41	+{{formula}}f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12{{/formula}}
52	52
53		-*Gesuchte Lösung:*
54		-Die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für alle {{formula}}x{{/formula}} in:
	43	+Wir suchen Nullstellen durch Raten und Polynomdivision. Probieren wir {{formula}}x = 2{{/formula}}:
55	55
56		-**L** = *der Vereinigung der folgenden offenen Intervalle:*
57		-„kleiner als die kleinste Nullstelle“: {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
58		-„zwischen –1 und 1“: {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
59		-„größer als die größte Nullstelle“: {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
	45	+{{formula}}f(2) = 8 - 12 - 8 + 12 = 0{{/formula}} → Nullstelle gefunden.
60	60
61		-→ Formal:
	47	+Polynomdivision von {{formula}}f(x){{/formula}} durch {{formula}}x - 2{{/formula}} ergibt:
62	62
63		-{{formula}}\mathbb{L} = ]-\infty,\ -\sqrt{3}[ \cup ]-1,\ 1[ \cup ]\sqrt{3},\ \infty[{{/formula}}
	49	+{{formula}}f(x) = (x - 2)(x^2 - x - 6){{/formula}}
64	64
65		-**Anmerkung:**
	51	+Nun faktorisieren wir das Quadrat:
	52	+
	53	+{{formula}}x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2){{/formula}}
	54	+
	55	+→ Die vollständige Faktorisierung lautet:
	56	+
	57	+{{formula}}f(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 2){{/formula}}
	58	+
	59	+**Nullstellen:**
	60	+{{formula}}x = -2,\quad x = 2,\quad x = 3{{/formula}}
	61	+
	62	+Nun analysieren wir das Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} in den Intervallen:
	63	+
	64	+| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
	65	+|----------------------|--------------|---------------------------------------------|
	66	+| {{formula}}x < -2{{/formula}} | {{formula}}x = -3{{/formula}} | {{formula}}f(-3) = 0 \Rightarrow \text{neg.} |
	67	+| {{formula}}-2 < x < 2{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(0) = 12 > 0{{/formula}} |
	68	+| {{formula}}2 < x < 3{{/formula}} | {{formula}}x = 2.5{{/formula}}| {{formula}}f(2.5) < 0{{/formula}} (direkt berechnet) |
	69	+| {{formula}}x > 3{{/formula}} | {{formula}}x = 4{{/formula}} | {{formula}}f(4) = 20 > 0{{/formula}} |
	70	+
	71	+**Gesucht war:**
	72	+{{formula}}f(x) \le 0{{/formula}} → also alle x-Werte, bei denen der Funktionswert kleiner oder gleich null ist.
	73	+
	74	+Daraus ergibt sich:
	75	+
	76	+**Lösungsmenge:**
	77	+**L** = {{formula}}[-2,\ 2] \cup \{3\}{{/formula}}
	78	+
	79	+---
	80	+
	81	+**Zusammenfassung:**
66	66	- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
67	67	- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
68	68	- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
	85	+
	86	+{{/loesung}}
	87	+