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Version 2.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/06 22:41
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1 **Aufgabenstellung:**
2 Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) \le 0{{/formula}} gilt: Verwende zur Lösung die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung von Polynomungleichungen.
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4 **Lösungsschritte:**
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6 (% class="abc" %)
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8 1. **Tabellarisches Verfahren:**
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10 Wir berechnen Funktionswerte für ausgewählte ganzzahlige {{formula}}x{{/formula}}-Werte:
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12 (% class="border slim" %)
13 |{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-3{{/formula}}|{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}4{{/formula}}|{{formula}}5{{/formula}}|
14 |{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}4{{/formula}}|{{formula}}11{{/formula}}|{{formula}}12{{/formula}}|{{formula}}6{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}20{{/formula}}|{{formula}}52{{/formula}}|
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16 An der Tabelle erkennen wir:
17 - Bei {{formula}}x = -3{{/formula}} liegt eine Nullstelle vor.
18 - Zwischen {{formula}}x = 2{{/formula}} und {{formula}}x = 3{{/formula}} gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
19 - Zwischen {{formula}}x = 2{{/formula}} und {{formula}}x = 3{{/formula}} gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
20 - Zwischen {{formula}}x = 1{{/formula}} und {{formula}}x = 2{{/formula}} liegt eine weitere Nullstelle.
21 → Es gibt mehrere Nullstellen, was auf eine Faktorisierungsmöglichkeit hindeutet.
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25 2. **Graphisches Verfahren:**
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27 Die Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist ein Polynom 3. Grades mit positivem Leitkoeffizienten. Der Graph verläuft daher typischerweise von links unten nach rechts oben.
28 Die Tabelle zeigt, dass der Graph:
29 - {{formula}}f(-3) = 0{{/formula}}, also eine Nullstelle bei {{formula}}x = -3{{/formula}},
30 - positiv wird bei {{formula}}x = -2{{/formula}} und darüber hinaus,
31 - erneut {{formula}}f(2) = 0{{/formula}}, sowie {{formula}}f(3) = 0{{/formula}}.
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33 → Die Skizze des Graphen zeigt drei Nullstellen; die Funktion verläuft unterhalb der x-Achse nur zwischen zwei Nullstellen (s. rechnerisch).
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37 3. **Rechnerisches Verfahren:**
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39 Gegeben:
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41 {{formula}}f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12{{/formula}}
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43 Wir suchen Nullstellen durch Raten und Polynomdivision. Probieren wir {{formula}}x = 2{{/formula}}:
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45 {{formula}}f(2) = 8 - 12 - 8 + 12 = 0{{/formula}} → Nullstelle gefunden.
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47 Polynomdivision von {{formula}}f(x){{/formula}} durch {{formula}}x - 2{{/formula}} ergibt:
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49 {{formula}}f(x) = (x - 2)(x^2 - x - 6){{/formula}}
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51 Nun faktorisieren wir das Quadrat:
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53 {{formula}}x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2){{/formula}}
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55 → Die vollständige Faktorisierung lautet:
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57 {{formula}}f(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 2){{/formula}}
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59 **Nullstellen:**
60 {{formula}}x = -2,\quad x = 2,\quad x = 3{{/formula}}
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62 Nun analysieren wir das Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} in den Intervallen:
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64 | Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
65 |----------------------|--------------|---------------------------------------------|
66 | {{formula}}x < -2{{/formula}} | {{formula}}x = -3{{/formula}} | {{formula}}f(-3) = 0 \Rightarrow \text{neg.} |
67 | {{formula}}-2 < x < 2{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(0) = 12 > 0{{/formula}} |
68 | {{formula}}2 < x < 3{{/formula}} | {{formula}}x = 2.5{{/formula}}| {{formula}}f(2.5) < 0{{/formula}} (direkt berechnet) |
69 | {{formula}}x > 3{{/formula}} | {{formula}}x = 4{{/formula}} | {{formula}}f(4) = 20 > 0{{/formula}} |
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71 **Gesucht war:**
72 {{formula}}f(x) \le 0{{/formula}} → also alle x-Werte, bei denen der Funktionswert kleiner oder gleich null ist.
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74 Daraus ergibt sich:
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76 **Lösungsmenge:**
77 **L** = {{formula}}[-2,\ 2] \cup \{3\}{{/formula}}
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81 **Zusammenfassung:**
82 - Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
83 - Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
84 - Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
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86 {{/loesung}}