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Lösung Rückwärts lösen

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/17 20:10

a) Aus x=-2 ergibt sich durch Potenzieren mit 3: x^3=-8

Multiplizieren mit  2 ergibt 2x^3=-16

Addieren von  16 auf beiden Seiten ergibt 2x^3+16=0

Insgesamt folgt also:

\begin{align} 2x^3+16&=0 \\ 2x^3&=-16 \quad \mid :2 \\ x^3&=-8 \\ x&=-2 \end{align}

b) Die Gleichung hat die Lösungen x_{1,2}=0 und x_3=6. In der Produktform/Nullstellenform ergibt sich:

\begin{align} 2x^2(x-6)=0 \\ 2x^3-12x^2=0 \end{align}

Insgesamt ergibt sich:

\begin{align*} 2x^3+(-12)x^2 &= 0 \\ 2x^2 (x-6) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP } \end{align*}

\Rightarrow x_{1,2}=0; x_3=6

c) (\pm 2)^2=4
Damit ergeben sich die beiden Lösungen z_1=36 und z_2=4. In der Produktform/Nullstellenform ergibt sich (z-36)(z-4)=0.
Ausmultiplizieren führt auf

\begin{align} z^2-4z-36z+144=0 \\ z^2-40z+144=0 \end{align}

Insgesamt ergibt sich

\begin{align*} x^4-40x^2+144 &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\ z^2-40z+144 &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } & \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{40\pm\sqrt{(-40)^2-4\cdot 1\cdot 144}}{2\cdot 1}\\ z_1&=\frac{40+32}{2}=36; z_2=\frac{40-32}{2}=4 \end{align*}

\begin{align*} &\text{Resubst.: } z := x^2\\ &x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\pm 6\\ &x_{3,4}^2=4 \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2 \end{align*}