Änderungen von Dokument BPE 4.1 Exponentialfunktion und Eulersche Zahl

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Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.holgerengels
	1	+XWiki.martinrathgeb

Inhalt

...	...	@@ -4,7 +4,7 @@
4	4	[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
5	5	[[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
6	6	[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
7		-[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
	7	+[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
8	8
9	9	{{lernende}}
10	10	[[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
...	...	@@ -11,38 +11,48 @@
11	11	{{/lernende}}
12	12
13	13	{{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
14		-Entscheide jeweils, ob es sich bei dem Funktionsterm um einen Exponentialfunktionsterm handelt.
	14	+Entscheide, ob der Term Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
15	15	(% class="abc" %)
16		-1. {{formula}}f(x) = \frac{1}{8}(2(x-2))^3 + 1{{/formula}}
17		-1. {{formula}}f(x) = \frac{1}{8}2^{3(x+1)}-1{{/formula}}
	16	+1. {{formula}}\frac{1}{8}(2(x-2))^3 + 1{{/formula}}
	17	+1. {{formula}}\frac{1}{8}2^{3(x+1)}-1{{/formula}}
18	18	{{/aufgabe}}
19	19
20	20	{{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
21		-[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph zu {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}}. Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von {{formula}}g(x)=2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x)=3^x{{/formula}} verlaufen.
22		-(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
	21	+[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}}.
	22	+Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}g(x) = 2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x) = 3^x{{/formula}} im Vergleich zum Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
23	23	{{/aufgabe}}
24	24
25		-{{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
26		-Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere jeweils im Schaubild den Abschnitt für //x<0//.
27		-{{formula}}f(x)=1+2x{{/formula}} {{formula}}g(x)=1 + x^2{{/formula}} {{formula}}h(x)=(\frac{1}{2})^x{{/formula}} {{formula}}i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}} {{formula}}j(x)=2^x{{/formula}} {{formula}}k(x)=1{{/formula}}
	25	+{{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
	26	+Gegeben sind sechs Funktionsgleichungen und sechs Funktionsgraphen:
	27	+{{formula}}
	28	+ f(x)=1+2x,\quad
	29	+ g(x)=1+x^2,\quad
	30	+ h(x)=\bigl(\tfrac12\bigr)^x,\quad
	31	+ i(x)=\tfrac{1}{(x+1)^2},\quad
	32	+ j(x)=2^x,\quad
	33	+ k(x)=1.
	34	+{{/formula}}
28	28	[[image:graph f.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph g.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph h.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph p.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph q.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph r.svg||style="margin: 8px;width:360px"]]
29	29	(% class="abc" %)
	37	+1. Ordne jedem Funktionsgraphen die richtige Funktionsgleichung zu.
	38	+1. Skizziere in jedem Koordinatensystem zusätzlich den Teil des Graphen für {{formula}}x<0{{/formula}}.
30	30	{{/aufgabe}}
31	31
32	32	{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
33		-Fülle die Wertetabelle aus soweit wie möglich.
	42	+(% class="abc" %)
	43	+1. (((Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
34	34	(% class="border slim" %)
35	35	|=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
36	36	|={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
37		-
38		-Erläutere, warum wir die Exponentialfunktion nur für positive Basen definieren.
	47	+)))
	48	+1. Erläutere, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen {{formula}}q>0{{/formula}}, {{formula}}q\ne 1{{/formula}} definiert werden.
39	39	{{/aufgabe}}
40	40
41	41	{{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
42		-Die Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist gegeben mit {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}. Gib die Funktion {{formula}}f{{/formula}} in der Form {{formula}}f(x)=4^{kx}{{/formula}} mit einem geeigneten //k// an.
	52	+Gegeben ist die Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}. Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x)=4^{kx}{{/formula}} mit geeignetem {{formula}}k{{/formula}} an.
43	43	{{/aufgabe}}
44	44
45		-{{aufgabe id="Basiswechel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
	55	+{{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
46	46	Führe bei folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
47	47	(% class="abc" %)
48	48	1. {{formula}}f(x)=(\frac{1}{4})^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b=2{{/formula}}
...	...	@@ -50,29 +50,31 @@
50	50	1. {{formula}}f(x)=5^{2x+1}{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b=25{{/formula}}
51	51	{{/aufgabe}}
52	52
53		-{{aufgabe id="Eigenschaften der e-Funktion" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
54		-Erstelle einen Steckbrief für die e-Funktion {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}} mit allen relevanten Eigenschaften.
	63	+{{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
	64	+Gegeben sind folgende Zahlterme:
	65	+{{formula}}a_1=2{{/formula}}
	66	+{{formula}}a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}{{/formula}}
	67	+{{formula}}a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}{{/formula}}
	68	+{{formula}}a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{{/formula}}
	69	+(% class="abc" %)
	70	+1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster für {{formula}} a_5, a_6
	71	+{{/formula}} fort und berechne die beiden Werte.
	72	+1. Die Eulersche Zahl {{formula}} e{{/formula}} ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib {{formula}} e{{/formula}} so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.
55	55	{{/aufgabe}}
56	56
57		-{{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="12"}}
58		-Gegeben sind die Zahlterme
59		-{{formula}} a_1=2{{/formula}}
60		-{{formula}} a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}{{/formula}}
61		-{{formula}} a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}{{/formula}}
62		-{{formula}} a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{{/formula}}
	75	+{{aufgabe id="Eulersche Zahl als besondere Basis" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Martin Rathgeb" zeit="5" cc="by-sa"}}
	76	+Gegeben sind die Exponentialfunktionen {{formula}}f_q{{/formula}} mit {{formula}}f_q(x)=q^x{{/formula}} für {{formula}}q\in \{2;\,e;\,3\}{{/formula}}.
63	63	(% class="abc" %)
64		-1. Welchem Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne {{formula}} a_5, a_6
65		-{{/formula}}.
66		-1. Die eulersche Zahl {{formula}} e{{/formula}} ist gegeben durch {{formula}} e= 2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+ ...{{/formula}}, d.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl {{formula}} e{{/formula}} auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl {{formula}} e{{/formula}} so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.
67		-
68		-**Hinweis:** Für die Zahlterme {{formula}} a_7, a_8, ...{{/formula}} erhältst du eine beliebige Genauigheit.
	78	+1. Berechne für jedes {{formula}}q\in\{2;\,e;\,3\}{{/formula}} die Steigung der Geraden durch die Punkte {{formula}}P\bigl(0\mid f_q(0)\bigr){{/formula}} und {{formula}}Q\bigl(0{,}01\mid f_q(0{,}01)\bigr){{/formula}}.
	79	+1. Vergleiche die numerischen Werte und beantworte: Was fällt dir beim Fall {{formula}}q=e{{/formula}} besonders auf?
69	69	{{/aufgabe}}
70	70
71	71	{{lehrende}}
72		-"Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen" wird in den Aufgaben nicht abgedeckt, da die Bedeutung der Basis //e// als besondere Basis der Exponentialfunktion erst in der Differentialrechnung eine wichtige Rolle spielt. Die stetige Verzinsung bietet sich für den Unterricht an.
	83	+"Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen" wird in den Aufgaben nicht vollständig abgedeckt; die Aufgabe "Eulersche Zahl als besondere Basis" geht lediglich etwas in die Richtung (Geradensteigung von etwa 1): Die Bedeutung der Basis //e// als besondere Basis von Exponentialfunktionen f_q (mit //f_q'=f_q// genau dann, wenn q=e) spielt erst in der Differentialrechnung eine wichtige Rolle. Die stetige Verzinsung bietet sich für den Unterricht an.
	84	+Die Aufgabe soll
73	73	K3 wird bewusst weggelassen, weil es in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
74		-Zu K2 könnte man sich noch was überlegen.
	86	+Für K2 geben die Kompetenzen nur wenig her.
75	75	AFB III muss hier nicht erreicht werden.
76	76	{{/lehrende}}
77	77
78		-{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="3" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
	90	+{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}