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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -4,7 +4,7 @@
4 4  [[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
5 5  [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
6 6  [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
7 -[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
7 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
8 8  
9 9  {{lernende}}
10 10  [[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
... ... @@ -18,13 +18,13 @@
18 18  {{/aufgabe}}
19 19  
20 20  {{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
21 -[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph zu {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}}. Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von {{formula}}g(x)=2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x)=3^x{{/formula}} verlaufen.
22 -(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
21 +[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}}.
22 +Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}g(x) = 2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x) = 3^x{{/formula}} im Vergleich zum Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
23 23  {{/aufgabe}}
24 24  
25 25  {{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
26 -Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere jeweils im Schaubild den Abschnitt für //x<0//.
27 -{{formula}}f(x)=1+2x{{/formula}} {{formula}}g(x)=1 + x^2{{/formula}} {{formula}}h(x)=(\frac{1}{2})^x{{/formula}} {{formula}}i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}} {{formula}}j(x)=2^x{{/formula}} {{formula}}k(x)=1{{/formula}}
26 +Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere zudem in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für {{formula}}x<0{{/formula}}.
27 +{{formula}}f(x)=1+2x{{/formula}}, {{formula}}g(x)=1 + x^2{{/formula}}, {{formula}}h(x)=(\frac{1}{2})^x{{/formula}}, {{formula}}i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}}, {{formula}}j(x)=2^x{{/formula}}, {{formula}}k(x)=1{{/formula}}.
28 28  [[image:graph f.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph g.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph h.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph p.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph q.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph r.svg||style="margin: 8px;width:360px"]]
29 29  (% class="abc" %)
30 30  {{/aufgabe}}
... ... @@ -31,16 +31,27 @@
31 31  
32 32  {{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
33 33  (% class="abc" %)
34 -1. Fülle die Wertetabelle aus soweit wie möglich.
34 +1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
35 35  (% class="border slim" %)
36 +|=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
37 +|={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
38 +
39 +1. Erläutere, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen {{formula}}q > 0{{/formula}}, {{formula}}q
40 +e 1{{/formula}} definiert werden.
41 +(% endclass %)
42 +{{/aufgabe}}
43 +
44 +{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
45 +(% class="abc" %)
46 +1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
47 +(% class="border slim" %)
36 36  |=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
37 37  |={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
38 -
39 -1. Erläutere, warum Exponentialfunktion nur für positive Basen {{formula}}q>0{{/formula}}, {{formula}}q\ne 1{{/formula}} definiert werden.
50 +1. Erläutere, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen {{formula}}q>0{{/formula}}, {{formula}}q\ne 1{{/formula}} definiert werden.
40 40  {{/aufgabe}}
41 41  
42 42  {{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
43 -Gegeben ist die Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}. Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x)=4^{kx}{{/formula}} mit einem geeigneten //k// an.
54 +Gegeben ist die Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}. Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x)=4^{kx}{{/formula}} mit geeignetem {{formula}}k{{/formula}} an.
44 44  {{/aufgabe}}
45 45  
46 46  {{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
... ... @@ -52,121 +52,30 @@
52 52  {{/aufgabe}}
53 53  
54 54  {{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
55 -Gegeben sind die Zahlterme
66 +Gegeben sind folgende Zahlterme:
56 56  {{formula}}a_1=2{{/formula}}
57 57  {{formula}}a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}{{/formula}}
58 58  {{formula}}a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}{{/formula}}
59 59  {{formula}}a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{{/formula}}
60 60  (% class="abc" %)
61 -1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne {{formula}} a_5, a_6
62 -{{/formula}}.
63 -1. Die eulersche Zahl {{formula}} e{{/formula}} ist gegeben durch {{formula}} e= 2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+ ...{{/formula}}. D.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl {{formula}} e{{/formula}} auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl {{formula}} e{{/formula}} so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.
72 +1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster für {{formula}} a_5, a_6
73 +{{/formula}} fort und berechne die beiden Werte.
74 +1. Die Eulersche Zahl {{formula}} e{{/formula}} ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib {{formula}} e{{/formula}} so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.
64 64  {{/aufgabe}}
65 65  
66 -{{lehrende}}
67 -"Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen" wird in den Aufgaben nicht abgedeckt, da die Bedeutung der Basis //e// als besondere Basis der Exponentialfunktion erst in der Differentialrechnung eine wichtige Rolle spielt. Die stetige Verzinsung bietet sich für den Unterricht an.
68 -K3 wird bewusst weggelassen, weil es in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
69 -Für K2 geben die Kompetenzen nur wenig her.
70 -AFB III muss hier nicht erreicht werden.
71 -{{/lehrende}}
72 -
73 -{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
74 -
75 -**Bereinigter und überarbeiteter Wiki-Code gemäß BP BW (BG, Abitur ab 2024)**
76 -
77 -[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Funktionsterm erkennen
78 -[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
79 -[[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
80 -[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
81 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
82 -
83 -[[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
84 -
85 ----
86 -
87 -{{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
88 -Entscheide, ob der Ausdruck ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
89 -(% class="abc" %)
90 -1. {{formula}}\frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1{{/formula}}
91 -1. {{formula}}\frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1{{/formula}}
92 -{{/aufgabe}}
93 -
94 -{{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
95 -Gegeben ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}}.
96 -Skizziere die Graphen der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}g(x) = 2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x) = 3^x{{/formula}} im Vergleich zum Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
97 -(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
98 -[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]
99 -{{/aufgabe}}
100 -
101 -{{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
102 -Ordne die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu.
103 -Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für {{formula}}x < 0{{/formula}}.
104 -
105 -{{formula}}f(x) = 1 + 2x{{/formula}}, {{formula}}g(x) = 1 + x^2{{/formula}}, {{formula}}h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x{{/formula}},
106 -{{formula}}i(x) = \frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}}, {{formula}}j(x) = 2^x{{/formula}}, {{formula}}k(x) = 1{{/formula}}
107 -
108 -[[image:graph f.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
109 -[[image:graph g.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
110 -[[image:graph h.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
111 -[[image:graph p.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
112 -[[image:graph q.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
113 -[[image:graph r.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
114 -{{/aufgabe}}
115 -
116 -{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
117 -(% class="abc" %)
118 -1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
119 -(% class="border slim" %)
120 -|=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
121 -|={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
122 -
123 -1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen {{formula}}q > 0{{/formula}}, {{formula}}q \ne 1{{/formula}} definiert werden.
124 -{{/aufgabe}}
125 -
126 -{{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
127 -Gegeben ist die Funktion {{formula}}f(x) = 2^x{{/formula}}.
128 -Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x) = 4^{kx}{{/formula}} mit geeignetem {{formula}}k{{/formula}} an.
129 -{{/aufgabe}}
130 -
131 -{{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
132 -Führe bei den folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
133 -(% class="abc" %)
134 -1. {{formula}}f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = 2{{/formula}}
135 -1. {{formula}}f(x) = 9^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}
136 -1. {{formula}}f(x) = 5^{2x+1}{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = 25{{/formula}}
137 -{{/aufgabe}}
138 -
139 -{{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
140 -Gegeben sind die Zahlterme:
141 -{{formula}}a_1 = 2{{/formula}}
142 -{{formula}}a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2}{{/formula}}
143 -{{formula}}a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}{{/formula}}
144 -{{formula}}a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{{/formula}}
145 -
146 -(% class="abc" %)
147 -1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne {{formula}}a_5, a_6{{/formula}}.
148 -1. Die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib {{formula}}e{{/formula}} so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.
149 -{{/aufgabe}}
150 -
151 151  {{aufgabe id="Natürliche Basis anschaulich" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Erweiterung" zeit="5" cc="by-sa"}}
152 -Gegeben ist die Funktion {{formula}}f(x) = q^x{{/formula}}.
153 -
154 -Berechne für verschiedene Werte von {{formula}}q \in \{2; 2{,}5; 3; e\}{{/formula}} den Funktionswert an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall {{formula}}[0, 0{,}1]{{/formula}}.
155 -
78 +Gegeben ist die Exponentialfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = q^x{{/formula}}.
156 156  (% class="abc" %)
157 -1. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
158 -1. Welche Besonderheit stellst du für {{formula}}q = e{{/formula}} fest?
80 +1. Berechne für verschiedene Werte von {{formula}}q \in \{2; 2{,}5; 3; e\}{{/formula}} den Funktionswert an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall {{formula}}[0, 0{,}1]{{/formula}}. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
81 +1. Welche Besonderheit stellst du für {{formula}}q = e{{/formula}} fest?
159 159  1. Erkläre, warum man {{formula}}e{{/formula}} als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.
160 160  {{/aufgabe}}
161 161  
162 162  {{lehrende}}
163 -Die Kompetenz „Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen“ wird in einer Zusatzaufgabe vertieft. Dabei wird herausgestellt, dass bei {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}} der Funktionswert und die Steigung an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} gleich sind, d. h. {{formula}}f(0) = 1{{/formula}} und {{formula}}f'(0) = 1{{/formula}}.
164 -Eine Anwendungsaufgabe zur stetigen Verzinsung kann hier sinnvoll ergänzen.
165 -
166 -K3 wird bewusst ausgelassen, da er in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
167 -Für K2 gibt es aktuell keine geeigneten inhaltsbezogenen Anknüpfungspunkte.
168 -AFB III muss in diesem Themenblock nicht zwingend erreicht werden.
86 +"Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen" wird in den Aufgaben nicht (bzw. am ehesten in Aufgabe "Natürliche Basis anschaulich") abgedeckt, da die Bedeutung der Basis //e// als besondere Basis der Exponentialfunktion erst in der Differentialrechnung eine wichtige Rolle spielt. Die stetige Verzinsung bietet sich für den Unterricht an.
87 +K3 wird bewusst weggelassen, weil es in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
88 +Für K2 geben die Kompetenzen nur wenig her.
89 +AFB III muss hier nicht erreicht werden.
169 169  {{/lehrende}}
170 170  
171 171  {{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
172 -