BPE 4.1 Exponentialfunktion und Eulersche Zahl

1  Exponentialfunktion  (2 min) 𝕃

Entscheide jeweils, ob es sich bei dem Funktionsterm um einen Exponentialfunktionsterm handelt.

1. \(f(x) = \frac{1}{8}(2(x-2))^3 + e\)
2. \(f(x) = \frac{1}{8}x^{3(x+1)}-1\)

2  Graphen  (8 min) 𝕃

Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere jeweils im Schaubild den Abschnitt für x<0.
\(f(x)=1+2x\) \(g(x)=1 + x^2\) \(h(x)=(\frac{1}{2})^x\) \(\frac{1}{(x+1)^2}\)\(i(x)=2^x\)

3  Basiswechel  (10 min) 𝕃

Wandle die gegeben Exponentialfunktion in die entsprechende Basis um, z.B. \(f(x)=(\frac{1}{2})^x= 2^{-x}\) ist eine Umwandlung in die neue Basis \(b=2\)
\(f(x)=(\frac{1}{4})^x\) in die neue Basis \(b=2\)
\(f(x)=(\frac{3}{18})^x\) in die neue Basis \(b=6\)
\(f(x)=9^x\) in die neue Basis \(b=\frac{1}{3}\)
\(f(x)=5^{2x+1}\) in die neue Basis \(b=25\)
\(f(x)=(\frac{16}{54})^{2x}\) in die neue Basis \(b=\frac{3}{2}\)

4  Exponentialfunktionen erkennen  (8 min) 𝕃

Bestimme zu jedem Schaubild eine passende Funktionsgleichung. 

5  e-Funktion im Vergleich  (5 min) 𝕃

Gegeben ist der Graph zu \(f(x)=e^x\). Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von \(g(x)=2^x\) und \(h(x)=3^x\) verlaufen.
(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)

6  Eigenschaften der e-Funktion  (5 min) 𝕃

 
Erstelle einen Steckbrief für die e-Funktion mit allen dir bekannten Eigenschaften.

7  Eulersche Zahl  (12 min) 𝕃

Gegeben sind die Zahlterme
\( a_1=2\)
\( a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}\)
\( a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\)
\( a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\)
a) Welchem Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne \( a_5, a_6 \).
b) Die eulersche Zahl \( e\) ist gegben durch \( e= 2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+ ...\), d.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl \( e\) auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl \( e\) so genau an, wie du sie in a) berechnet hast. Hinweis: Du kannst gerne noch mehr weiter Zahlterme \( a_7,a_8, usw.\), wenn du eine noch höhere Genauigheit haben willst.