Wiki-Quellcode von BPE 4.1 Exponentialfunktion und Eulersche Zahl

Version 91.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/24 23:15

version	line-number	content
66.2	1	{{seiteninhalt/}}
1.1	2
13.1	3	[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Funktionsterm erkennen
9.1	4	[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
13.1	5	[[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
	6	[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
91.1	7	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
15.1	8
23.1	9	{{lernende}}
	10	[[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
	11	{{/lernende}}
16.1	12
77.1	13	{{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
87.1	14	Entscheide, ob der Term Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
67.1	15	(% class="abc" %)
87.1	16	1. {{formula}}\frac{1}{8}(2(x-2))^3 + 1{{/formula}}
	17	1. {{formula}}\frac{1}{8}2^{3(x+1)}-1{{/formula}}
67.1	18	{{/aufgabe}}
	19
83.2	20	{{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
91.1	21	[[image:EFunktion.svg\|\|style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}}.
	22	Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}g(x) = 2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x) = 3^x{{/formula}} im Vergleich zum Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
83.2	23	{{/aufgabe}}
	24
	25	{{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
68.3	26	Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere jeweils im Schaubild den Abschnitt für //x<0//.
75.1	27	{{formula}}f(x)=1+2x{{/formula}} {{formula}}g(x)=1 + x^2{{/formula}} {{formula}}h(x)=(\frac{1}{2})^x{{/formula}} {{formula}}i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}} {{formula}}j(x)=2^x{{/formula}} {{formula}}k(x)=1{{/formula}}
74.2	28	[[image:graph f.svg\|\|style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph g.svg\|\|style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph h.svg\|\|style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph p.svg\|\|style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph q.svg\|\|style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph r.svg\|\|style="margin: 8px;width:360px"]]
68.3	29	(% class="abc" %)
	30	{{/aufgabe}}
	31
79.1	32	{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
88.1	33	(% class="abc" %)
	34	1. Fülle die Wertetabelle aus soweit wie möglich.
75.2	35	(% class="border slim" %)
75.1	36	\|=x\|2\|1\|0\|-1\|-2\|-1,5
	37	\|={{formula}}(-2)^x{{/formula}}\|\|\|\|\|\|
75.2	38
88.1	39	1. Erläutere, warum Exponentialfunktion nur für positive Basen {{formula}}q>0{{/formula}}, {{formula}}q\ne 1{{/formula}} definiert werden.
75.1	40	{{/aufgabe}}
	41
79.1	42	{{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
88.1	43	Gegeben ist die Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}. Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x)=4^{kx}{{/formula}} mit einem geeigneten //k// an.
79.1	44	{{/aufgabe}}
	45
86.1	46	{{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
82.2	47	Führe bei folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
	48	(% class="abc" %)
	49	1. {{formula}}f(x)=(\frac{1}{4})^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b=2{{/formula}}
	50	1. {{formula}}f(x)=9^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b=\frac{1}{3}{{/formula}}
	51	1. {{formula}}f(x)=5^{2x+1}{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b=25{{/formula}}
50.1	52	{{/aufgabe}}
16.1	53
84.1	54	{{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
40.1	55	Gegeben sind die Zahlterme
84.1	56	{{formula}}a_1=2{{/formula}}
	57	{{formula}}a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}{{/formula}}
	58	{{formula}}a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}{{/formula}}
	59	{{formula}}a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{{/formula}}
77.1	60	(% class="abc" %)
85.2	61	1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne {{formula}} a_5, a_6
38.1	62	{{/formula}}.
84.1	63	1. Die eulersche Zahl {{formula}} e{{/formula}} ist gegeben durch {{formula}} e= 2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+ ...{{/formula}}. D.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl {{formula}} e{{/formula}} auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl {{formula}} e{{/formula}} so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.
39.1	64	{{/aufgabe}}
61.1	65
	66	{{lehrende}}
83.1	67	"Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen" wird in den Aufgaben nicht abgedeckt, da die Bedeutung der Basis //e// als besondere Basis der Exponentialfunktion erst in der Differentialrechnung eine wichtige Rolle spielt. Die stetige Verzinsung bietet sich für den Unterricht an.
	68	K3 wird bewusst weggelassen, weil es in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
85.1	69	Für K2 geben die Kompetenzen nur wenig her.
83.1	70	AFB III muss hier nicht erreicht werden.
61.1	71	{{/lehrende}}
62.1	72
85.3	73	{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
89.1	74
	75	Bereinigter und überarbeiteter Wiki-Code gemäß BP BW (BG, Abitur ab 2024)
	76
	77	[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Funktionsterm erkennen
	78	[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
90.1	79	[[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
89.1	80	[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
	81	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
	82
	83	[[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
	84
	85	---
	86
	87	{{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
	88	Entscheide, ob der Ausdruck ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
	89	(% class="abc" %)
90.1	90	1. {{formula}}\frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1{{/formula}}
	91	1. {{formula}}\frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1{{/formula}}
89.1	92	{{/aufgabe}}
	93
	94	{{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
90.1	95	Gegeben ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}}.
	96	Skizziere die Graphen der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}g(x) = 2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x) = 3^x{{/formula}} im Vergleich zum Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
	97	(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
89.1	98	[[image:EFunktion.svg\|\|style="float: right; width:400px"]]
	99	{{/aufgabe}}
	100
	101	{{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
	102	Ordne die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu.
90.1	103	Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für {{formula}}x < 0{{/formula}}.
89.1	104
90.1	105	{{formula}}f(x) = 1 + 2x{{/formula}}, {{formula}}g(x) = 1 + x^2{{/formula}}, {{formula}}h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x{{/formula}},
	106	{{formula}}i(x) = \frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}}, {{formula}}j(x) = 2^x{{/formula}}, {{formula}}k(x) = 1{{/formula}}
89.1	107
	108	[[image:graph f.svg\|\|style="margin: 8px; width: 360px"]]
	109	[[image:graph g.svg\|\|style="margin: 8px; width: 360px"]]
	110	[[image:graph h.svg\|\|style="margin: 8px; width: 360px"]]
	111	[[image:graph p.svg\|\|style="margin: 8px; width: 360px"]]
	112	[[image:graph q.svg\|\|style="margin: 8px; width: 360px"]]
	113	[[image:graph r.svg\|\|style="margin: 8px; width: 360px"]]
	114	{{/aufgabe}}
	115
	116	{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
	117	(% class="abc" %)
	118	1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
	119	(% class="border slim" %)
	120	\|=x\|2\|1\|0\|-1\|-2\|-1,5
90.1	121	\|={{formula}}(-2)^x{{/formula}}\|\|\|\|\|\|
89.1	122
90.1	123	1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen {{formula}}q > 0{{/formula}}, {{formula}}q \ne 1{{/formula}} definiert werden.
89.1	124	{{/aufgabe}}
	125
	126	{{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
90.1	127	Gegeben ist die Funktion {{formula}}f(x) = 2^x{{/formula}}.
	128	Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x) = 4^{kx}{{/formula}} mit geeignetem {{formula}}k{{/formula}} an.
89.1	129	{{/aufgabe}}
	130
	131	{{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
	132	Führe bei den folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
	133	(% class="abc" %)
90.1	134	1. {{formula}}f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = 2{{/formula}}
	135	1. {{formula}}f(x) = 9^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}
	136	1. {{formula}}f(x) = 5^{2x+1}{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = 25{{/formula}}
89.1	137	{{/aufgabe}}
	138
	139	{{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
	140	Gegeben sind die Zahlterme:
90.1	141	{{formula}}a_1 = 2{{/formula}}
	142	{{formula}}a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2}{{/formula}}
	143	{{formula}}a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}{{/formula}}
	144	{{formula}}a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{{/formula}}
89.1	145
	146	(% class="abc" %)
90.1	147	1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne {{formula}}a_5, a_6{{/formula}}.
	148	1. Die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib {{formula}}e{{/formula}} so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.
89.1	149	{{/aufgabe}}
	150
	151	{{aufgabe id="Natürliche Basis anschaulich" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Erweiterung" zeit="5" cc="by-sa"}}
90.1	152	Gegeben ist die Funktion {{formula}}f(x) = q^x{{/formula}}.
89.1	153
90.1	154	Berechne für verschiedene Werte von {{formula}}q \in \{2; 2{,}5; 3; e\}{{/formula}} den Funktionswert an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall {{formula}}[0, 0{,}1]{{/formula}}.
89.1	155
	156	(% class="abc" %)
	157	1. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
90.1	158	1. Welche Besonderheit stellst du für {{formula}}q = e{{/formula}} fest?
	159	1. Erkläre, warum man {{formula}}e{{/formula}} als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.
89.1	160	{{/aufgabe}}
	161
	162	{{lehrende}}
90.1	163	Die Kompetenz „Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen“ wird in einer Zusatzaufgabe vertieft. Dabei wird herausgestellt, dass bei {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}} der Funktionswert und die Steigung an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} gleich sind, d. h. {{formula}}f(0) = 1{{/formula}} und {{formula}}f'(0) = 1{{/formula}}.
89.1	164	Eine Anwendungsaufgabe zur stetigen Verzinsung kann hier sinnvoll ergänzen.
	165
	166	K3 wird bewusst ausgelassen, da er in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
	167	Für K2 gibt es aktuell keine geeigneten inhaltsbezogenen Anknüpfungspunkte.
	168	AFB III muss in diesem Themenblock nicht zwingend erreicht werden.
	169	{{/lehrende}}
	170
	171	{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
	172

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