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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Titel
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -Logarithmus und Exponentialgleichungen
1 +BPE 4.5 Logarithmus und Exponentialgleichungen
Übergeordnete Seite
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -Main.WebHome
1 +Eingangsklasse.WebHome
Dokument-Autor
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1 -XWiki.holger
1 +XWiki.martinrathgeb
Inhalt
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1 -{{box cssClass="floatinginfobox" title="**Contents**"}}
2 -{{toc start=2 depth=2 /}}
3 -{{/box}}
1 +{{seiteninhalt/}}
4 4  
5 -Die Schülerinnen und Schüler deuten den Logarithmus einer Zahl als Lösung einer Exponentialgleichung. Exponentialgleichungen lösen sie algebraisch und begründen die Auswahl der jeweiligen Lösungsstrategie. Die berechneten Lösungen interpretieren die Schülerinnen und Schüler grafisch als Nullstellen einer Funktion beziehungsweise als Schnittstellen zweier Funktionen.
3 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
5 +[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
6 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
7 +[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 +[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
6 6  
10 +Aufgaben:
11 +– Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
12 +Lösen von Exponentialgleichungen:
13 +– Vokabelheft für Umkehroperationen
14 +– Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
15 +– Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
16 +– Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
17 +- Näherungslösungen
18 +
19 +Gleichungen:
20 +x+y = e --> y = e - x
21 +x*y = e --> y = e / x
22 +e^y = x --> y = ln(x)
23 +
24 +{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
25 +Nenne jeweils eine passende Gleichung:
26 +
27 +Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich{{formula}} \ldots {{/formula}}
28 +(% class="abc" %)
29 +1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
30 +1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
31 +1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
32 +{{/aufgabe}}
33 +
34 +{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
35 +Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
36 +{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
37 +{{/aufgabe}}
38 +
39 +{{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
40 +Ordne zu:
41 +(% class="border slim " %)
42 +|Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
43 +|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
44 +|x|0|1|2|3
45 +|y|1|2|4|8
46 +)))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
47 +|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
48 +|x|0|1|2|3
49 +|y|0|1|8|27
50 +)))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
51 +|{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
52 +|x|0|1|2|3
53 +|y|0|1|8|27
54 +)))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
55 +|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |(((
56 +|x|0|1|2|3
57 +|y|0|1|8|27
58 +)))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
59 +
60 +
61 +{{/aufgabe}}
62 +
63 +{{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
64 +Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
65 +
66 +[[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
67 +
68 +(% class="abc" %)
69 +1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
70 +1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
71 +1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
72 +1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
73 +1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
74 +1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
75 +1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
76 +1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
77 +1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
78 +{{/aufgabe}}
79 +
80 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
81 +(% class="abc" %)
82 +Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
83 +{{/aufgabe}}
84 +
85 +{{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
86 +(% class="abc" %)
87 +Aufgabe als Dokument im Anhang ‚unten‘.
88 +{{/aufgabe}}
89 +
90 +
91 +{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
92 +Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
93 +
94 +(% class="border slim " %)
95 +|Typ 1 Umkehroperationen|Typ 2 Ausklammern|Typ 3 Substitution
96 +|{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
97 +|{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2x}+x^e+1 = 0{{/formula}}
98 +|{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
99 +|{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
100 +{{/aufgabe}}
101 +
102 +Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich {{formula}} \ldots {{/formula}}
103 +(% class="abc" %)
104 +1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
105 +1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
106 +1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
107 +{{/aufgabe}}
108 +
109 +
110 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
111 +Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
112 +(% class="abc" %)
113 +1. {{formula}} 4\cdot 0,5^x=100 {{/formula}}
114 +1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
115 +1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
116 +1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
117 +1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
118 +{{/aufgabe}}
119 +
120 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
121 +Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
122 +(% class="abc" %)
123 +1. {{formula}} 2x=x^{2} {{/formula}}
124 +1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
125 +1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}
126 +{{/aufgabe}}
127 +
128 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
129 +Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
130 +(% class="abc" %)
131 +1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}
132 +1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}
133 +1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}
134 +1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}
135 +{{/aufgabe}}
136 +
137 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
138 +Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
139 +(% class="abc" %)
140 +1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}
141 +1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}
142 +1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}
143 +1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}
144 +{{/aufgabe}}
145 +
146 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
147 +Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
148 +(% class="abc" %)
149 +1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
150 +1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
151 +1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
152 +1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
153 +
154 +[[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]
155 +{{/aufgabe}}
156 +
157 +{{seitenreflexion/}}
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