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am 2025/02/26 14:20
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Titel
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -Logarithmus und Exponentialgleichungen
1 +BPE 4.5 Logarithmus und Exponentialgleichungen
Übergeordnete Seite
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -Main.WebHome
1 +Eingangsklasse.WebHome
Dokument-Autor
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1 -XWiki.holger
1 +XWiki.martinawagner
Inhalt
... ... @@ -1,12 +1,167 @@
1 -{{box cssClass="floatinginfobox" title="**Contents**"}}
2 -{{toc start=2 depth=2 /}}
3 -{{/box}}
1 +{{seiteninhalt/}}
4 4  
5 -=== Kompetenzen ===
6 -[K5] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
7 -[K5] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
8 -[K2] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
9 -[K5] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
10 -[K?] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
11 -[K?] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
3 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
5 +[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
6 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
7 +[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 +[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
12 12  
10 +Aufgaben:
11 +– Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
12 +Lösen von Exponentialgleichungen:
13 +– Vokabelheft für Umkehroperationen
14 +– Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
15 +– Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
16 +– Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
17 +- Näherungslösungen
18 +
19 +Gleichungen:
20 +x+y = e --> y = e - x
21 +x*y = e --> y = e / x
22 +e^y = x --> y = ln(x)
23 +
24 +{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
25 +Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich {{formula}} \ldots {{/formula}}
26 +(% class="abc" %)
27 +1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
28 +1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
29 +1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
30 +{{/aufgabe}}
31 +
32 +{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
33 +Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
34 +{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
35 +{{/aufgabe}}
36 +
37 +{{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
38 +Ordne zu!
39 +(% class="border slim " %)
40 +|Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
41 +|{{formula}} x^3 = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
42 +|x|0|1|2|3
43 +|y|1|2|4|8
44 +)))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
45 +|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
46 +|x|0|1|2|3
47 +|y|0|1|8|27
48 +)))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
49 +
50 +(% class="abc" %)
51 +1. (((Gleichungen (implizite und explizite):
52 +1. {{formula}} x^3 = 8 {{/formula}}
53 +1. {{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}
54 +1. {{formula}} x = \sqrt[3]{8=} {{/formula}}
55 +1. {{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}}
56 +)))
57 +1. Wertetabellen:
58 +(((
59 +|x|0|1|2|3
60 +|y|0|1|8|27
61 +)))
62 +
63 +(((
64 +|x|0|1|2|3
65 +|y|0|1|8|27
66 +)))
67 +1. zwei Graphen
68 +[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
69 +[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
70 +{{/aufgabe}}
71 +
72 +{{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
73 +Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
74 +
75 +[[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
76 +
77 +(% class="abc" %)
78 +1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
79 +1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
80 +1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
81 +1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
82 +1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
83 +1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
84 +1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
85 +1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
86 +1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
87 +{{/aufgabe}}
88 +
89 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
90 +(% class="abc" %)
91 +Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
92 +{{/aufgabe}}
93 +
94 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen Lösbarkeit (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
95 +(% class="abc" %)
96 +Gegeben sind die beiden Gleichungen {{formula}} x^2 = a {{/formula}} und {{formula}} 2^x = a {{/formula}} für {{formula}} a \in \mathbb{R} {{/formula}}. Untersuche ihre Lösbarkeit in Abhängigkeit von {{formula}} a {{/formula}}.
97 +{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. {{/formula}}
98 +{{/aufgabe}}
99 +
100 +
101 +{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
102 +Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
103 +
104 +(% class="border slim " %)
105 +|Typ 1 Umkehroperationen|Typ 2 Ausklammern|Typ 3 Substitution
106 +|{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
107 +|{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2x}+x^e+1 = 0{{/formula}}
108 +|{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
109 +|{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
110 +{{/aufgabe}}
111 +
112 +Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich {{formula}} \ldots {{/formula}}
113 +(% class="abc" %)
114 +1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
115 +1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
116 +1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
117 +{{/aufgabe}}
118 +
119 +
120 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
121 +Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
122 +(% class="abc" %)
123 +1. {{formula}} 4\cdot 0,5^x=100 {{/formula}}
124 +1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
125 +1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
126 +1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
127 +1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
128 +{{/aufgabe}}
129 +
130 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
131 +Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
132 +(% class="abc" %)
133 +1. {{formula}} 2x=x^{2} {{/formula}}
134 +1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
135 +1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}
136 +{{/aufgabe}}
137 +
138 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
139 +Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
140 +(% class="abc" %)
141 +1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}
142 +1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}
143 +1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}
144 +1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}
145 +{{/aufgabe}}
146 +
147 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
148 +Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
149 +(% class="abc" %)
150 +1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}
151 +1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}
152 +1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}
153 +1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}
154 +{{/aufgabe}}
155 +
156 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
157 +Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
158 +(% class="abc" %)
159 +1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
160 +1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
161 +1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
162 +1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
163 +
164 +[[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]
165 +{{/aufgabe}}
166 +
167 +{{seitenreflexion/}}
2^xund8.ggb
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SchaubilderExp.ggb
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