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Version 176.2 von Holger Engels am 2025/05/26 19:53
Verstecke letzte Bearbeiter
Holger Engels 27.1 1 {{seiteninhalt/}}
Holger Engels 28.1 2
holger 7.1 3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
holger 8.1 5 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
holger 7.1 6 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
martina 9.1 7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
Niklas Wunder 11.1 9
Kim Fujan 130.3 10 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
11 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
12 (% class="abc" %)
Kim Fujan 130.4 13
Kim Fujan 130.3 14 1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
15 1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
16 1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
17 1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
Kim Fujan 130.4 18 1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
Kim Fujan 130.3 19 {{/aufgabe}}
20
Kim Fujan 136.1 21 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
Kim Fujan 130.3 22 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
23 (% class="abc" %)
Kim Fujan 130.5 24 1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}}
Kim Fujan 130.6 25 1. {{formula}} 2e^x-e^{2x}=0 {{/formula}}
26 1. {{formula}} \frac{1}{3}e^x=e^{2x} {{/formula}}
27 1. {{formula}} 3e^{-x}=2e^{2x} {{/formula}}
Kim Fujan 130.3 28 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
29 {{/aufgabe}}
30
Kim Fujan 136.1 31 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
Kim Fujan 130.3 32 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
33 (% class="abc" %)
Kim Fujan 152.1 34 1. {{formula}} x^{2}-2x-3=0 {{/formula}}
35 1. {{formula}} e^{2x}-2e^x-3=0 {{/formula}}
36 1. {{formula}} e^x-2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
Kim Fujan 151.1 37 1. {{formula}} e^x-2-\frac{8}{e^x}}=0 {{/formula}}
Kim Fujan 130.13 38 1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}}
Kim Fujan 130.3 39 {{/aufgabe}}
40
Holger Engels 176.1 41 {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="III" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
Kim Fujan 130.15 42 Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
43
44 [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
45
46 (% class="abc" %)
47 1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
48 1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
49 1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
50 1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
51 1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
52 1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
53 1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
54 {{/aufgabe}}
55
Holger Engels 166.2 56 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
Kim Fujan 130.15 57 (% class="abc" %)
Kim Fujan 130.19 58 Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
Kim Fujan 130.15 59 {{/aufgabe}}
60
Kim Fujan 130.18 61 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
Holger Engels 123.2 62 Nenne jeweils eine passende Gleichung:
63
64 Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
Martin Rathgeb 55.1 65 (% class="abc" %)
Holger Engels 123.2 66 1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
67 1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
68 1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
Martin Rathgeb 55.1 69 {{/aufgabe}}
70
Elke Hallmann 122.2 71 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
Martina Wagner 111.4 72 Ordne zu:
Holger Engels 128.1 73 (% class="border slim" %)
Dirk Tebbe 106.2 74 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
Kim Fujan 135.1 75 |{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}}|(((
Dirk Tebbe 108.1 76 |x|0|1|2|3
Dirk Tebbe 110.3 77 |y|1|2|4|8
Dirk Tebbe 109.1 78 )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
Elke Hallmann 112.1 79 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
Dirk Tebbe 110.1 80 |x|0|1|2|3
Kim Fujan 135.1 81 |y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
Elke Hallmann 113.2 82 )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
Elke Hallmann 112.1 83 |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
Martin Rathgeb 78.4 84 |x|0|1|2|3
Martin Rathgeb 125.1 85 |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
Kim Fujan 157.1 86 )))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
Martin Rathgeb 57.1 87 {{/aufgabe}}
88
Kim Fujan 130.21 89 {{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
Holger Engels 129.3 90 Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
Holger Engels 129.1 91 (%class="abc"%)
92 1. (((
Holger Engels 128.1 93 (%class="border slim"%)
Kim Fujan 130.22 94 |(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 95
Holger Engels 128.1 96 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Holger Engels 129.2 97 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 98
Holger Engels 128.1 99 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Kim Fujan 130.22 100 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 101
Holger Engels 128.1 102 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
103 ⬋
104 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 105 (((
106 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
107 |
108
109
110 )))
111
112 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
Holger Engels 128.1 113 |(%align="center"%)(((⬋
114 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
Holger Engels 129.1 115 (((
116 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
117 |
118
119
120 )))
Holger Engels 128.1 121 )))|(%align="center"%)(((🠗
122 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
Holger Engels 129.1 123 (((
124 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
125 |
126
127
128 )))
Holger Engels 128.1 129 )))|(%align="center"%)(((⬊
130 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
Holger Engels 129.1 131 (((
132 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
133 |
134
135
Holger Engels 128.1 136 )))
Holger Engels 129.1 137 )))
138 )))
139 1. (((
140 (%class="border slim"%)
Holger Engels 129.2 141 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 142
143 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Holger Engels 129.2 144 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 145
146 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Holger Engels 129.2 147 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 148
149 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
150 ⬋
151 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
152 (((
153 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
154 |
155
156
157 )))
158
159 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
160 |(%align="center"%)(((⬋
161 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
162 (((
163 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
164 |
165
166
167 )))
168 )))|(%align="center"%)(((🠗
169 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
170 (((
171 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
172 |
173
174
175 )))
176 )))|(%align="center"%)(((⬊
177 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
178 (((
179 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
180 |
181
182
183 )))
184 )))
185 )))
186 1. (((
187 (%class="border slim"%)
Holger Engels 129.2 188 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 189
190 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Holger Engels 129.2 191 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 192
193 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Holger Engels 129.2 194 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 195
196 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
197 ⬋
198 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
199 (((
200 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
201 |
202
203
204 )))
205
206 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
207 |(%align="center"%)(((⬋
208 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
209 (((
210 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
211 |
212
213
214 )))
215 )))|(%align="center"%)(((🠗
216 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
217 (((
218 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
219 |
220
221
222 )))
223 )))|(%align="center"%)(((⬊
224 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
225 (((
226 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
227 |
228
229
230 )))
231 )))
232 )))
Martin Rathgeb 68.1 233 {{/aufgabe}}
234
Kim Fujan 131.3 235 {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
Martina Wagner 90.2 236 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
237
238 (% class="border slim " %)
Martin Rathgeb 127.1 239 |Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
Martina Wagner 90.4 240 |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
Dirk Tebbe 130.1 241 |{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2e}+x^e+1 = 0{{/formula}}
Martina Wagner 101.2 242 |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
Martina Wagner 103.2 243 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
Martina Wagner 90.1 244 {{/aufgabe}}
Martina Wagner 90.2 245
Martina Wagner 145.1 246 {{aufgabe id=" Exponentialgleichungen rückwärts lösen" afb="II" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
Martina Wagner 139.1 247 (% class="abc" %)
248 1. ((({{{ }}}
249
250 {{formula}}
251 \begin{align*}
Martin Stern 166.1 252 \square e^x-2 &= 0\\
Martina Wagner 139.1 253 \square e^x &=\square\quad \left|:\square\\
254 e^x &= \square \\
255 x &= 0
256 \end{align*}
257 {{/formula}}
258 )))
259 1. ((({{{ }}}
Martina Wagner 145.1 260
Martina Wagner 139.1 261 {{formula}}
262 \begin{align*}
Martina Wagner 142.1 263 e^{2x}-\square e^x &= 0 \\
Martina Wagner 155.1 264 e^x \cdot (\square-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
Martina Wagner 139.1 265 \end{align*}
266 {{/formula}}
267
Martina Wagner 156.1 268 {{formula}}
269 e^x \neq 0 ~und~ e^x-\square = 0{{/formula}}
270 {{formula}} e^x=\square {{/formula}}
Martina Wagner 145.1 271 {{formula}} x =\square {{/formula}}
Martina Wagner 142.1 272 )))
Martina Wagner 145.1 273 1. ((({{{ }}}
Martina Wagner 142.1 274
Martina Wagner 145.1 275 {{formula}}
276 \begin{align*}
Martina Wagner 148.1 277 e^{2x}-\square e^x+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } e^x:=\square\\
278 z^2-\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
Martina Wagner 139.1 279 \end{align*}
280 {{/formula}}
281
282 {{formula}}
283 \begin{align*}
284 \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
Martina Wagner 148.1 285 z_{1,2}&=\frac{\square+\square}{\square}
Martina Wagner 139.1 286 \end{align*}
287 {{/formula}}
288
289 {{formula}}
290 \begin{align*}
Martina Wagner 148.1 291 &\text{Resubst.: } z:= e^x\\
292 &e^x=\square \Rightarrow x \approx 0,693147...\\
Martina Wagner 139.1 293 \end{align*}
Martina Wagner 143.1 294 {{/formula}}
Martina Wagner 145.1 295 )))
Martina Wagner 139.1 296 {{/aufgabe}}
297
Kim Fujan 130.20 298 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
299 Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
Holger Engels 175.1 300 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. {{/formula}}
Kim Fujan 130.20 301 {{/aufgabe}}
302
Holger Engels 176.1 303 {{lehrende}}
304 K3 wird in BPE 4.6 behandelt
305 {{/lehrende}}
306
307 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5" /}}