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Lösung Exponentialgleichungen (Substitution)

Version 9.1 von Kim Fujan am 2025/05/21 08:44
  1. \( x^{2}-2x-3=0 \)
     
    Lösung mit abc-Formel:
    \(x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}\)
    \( x_{1}=3 \quad ; \quad x_{2}=-1 \)
      
  2. \( e^{2x}-2e^x-3=0 \)
     
    Substitution: \( e^x=u \)
    \( u^{2}+2u-3=0 \)
     
    Lösung mit abc-Formel:
    \(u_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}\)
    \( u_{1}=3 \quad ; \quad u_{2}=-1 \)
     
    Resubstitution:
    \( e^x=3 \quad \Longleftrightarrow \quad x=ln(3) \)
    \( e^x=-1 \quad \Longleftrightarrow \quad \) keine weitere Lösung!
      
  3. \( e^x-2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 \)
     
    Substitution: \( e^{\frac{1}{2}x}=u \)
    \( u^{2}+2u-3=0 \)
     
    Lösung mit abc-Formel:
    \(u_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}\)
    \( u_{1}=3 \quad ; \quad u_{2}=-1 \)
     
    Resubstitution:
    \( e^{\frac{1}{2}x}=3 \quad \Longleftrightarrow \quad x=2 \cdot ln(3) \)
    \( e^{\frac{1}{2}x}=-1 \quad \Longleftrightarrow \quad \) keine weitere Lösung!
      
  4. \( e^x-2-\frac{8}{e^x}}=0 \)
    \( e^{-x} \cdot (e^{2x}-2e^x-8)=0 \)
     
    Substitution: \( e^{x}=u \)
    \( u^{2}-2u-8=0 \)
     
    Lösung mit abc-Formel:
    \(u_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{4+32}}{2}=\frac{2\pm 6}{2}\)
    \( u_{1}=4 \quad ; \quad u_{2}=-2 \)
     
    Resubstitution:
    \( e^{x}=4 \quad \Longleftrightarrow \quad x= ln(4) \)
    \( e^{x}=-2 \quad \Longleftrightarrow \quad \) keine weitere Lösung!
      
  5. \( 2e^{4x}=e^{2x}+3 \)
    \( 2e^{4x}-e^{2x}-3=0 \)
     
    Substitution: \( e^{2x}=u \)
    \( 2u^{2}-u-3=0 \)
     
    Lösung mit abc-Formel:
    \(u_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm 5}{2}\)
    \( u_{1}=3 \quad ; \quad u_{2}=-2 \)
     
    Resubstitution:
    \( e^{\frac{1}{2}x}=3 \quad \Longleftrightarrow \quad x=2 \cdot ln(3) \)
    \( e^{\frac{1}{2}x}=-2 \quad \Longleftrightarrow \quad \) keine weitere Lösung!