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Änderungen von Dokument Lösung Verbreitung von Gerüchten

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/11 15:43
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bearbeitet von Holger Engels
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
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1 -XWiki.holgerengels
1 +XWiki.akukin
Inhalt
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3 3  1. (((Wie viele Personen kennen das Gerücht nach 1 Stunde, 2 Stunden, …? Stelle eine Wertetabelle für die ersten 5 Stunden auf und bestimme den Verbreitungsfaktor!
4 4  |=//t//|0|1|2|3|4|5
5 5  |=//f(t)//|2|6|18|54|162|486
6 +
6 6  Der Verbreitungsfaktor ist //3//.
7 7  )))
8 8  1. (((Die Verbreitung soll zunächst mit einer Exponentialfunktion der Form {{formula}}f(t)=ae^{kt}{{/formula}} modelliert werden. //t// ist die Zeit in Stunden, //f(t)// ist die Zahl der Schüler*innen, die das Gerücht zum Zeitpunkt //t// kennen. Ermittle //a// und //k// und gib den Funktionsterm an.
9 9  Anfangswert //a=2//
10 -{{formula}}f(t)=2\cdot\textcolor{red}{3}^t = 2\cdot\textcolor{red}{e}^{\textcolor{red}{k}t}{{/formula}}
11 +{{formula}}f(t)=2\cdot \color{red}{3}^t = 2\cdot \color{red}{e}^{\color{red}{k}t}{{/formula}}
11 11  {{formula}}\Rightarrow 3=e^k \Rightarrow k= \ln{3}{{/formula}}
12 12  {{formula}}\Rightarrow f(t)=2\cdot e^{\ln{3}\cdot t}{{/formula}}
13 13  )))
... ... @@ -15,12 +15,12 @@
15 15  In der Wertetabelle sieht man, dass die Funktion nach 5 Stunden schon mehr als doppelt so viele Schüler*innen liefert, als es in der Eingangsklasse gibt. Bei 240 Schüler*innen müsste Schluss sein. Bevor die 240 erreicht sind, dürfte sich das Gerücht wieder langsamer ausbreiten, denn es wird immer unwahrscheinlicher, dass eine Person auf eine andere trifft, die es nicht schon weiß.
16 16  )))
17 17  Bessere Ergebnisse für die Ausbreitung des Gerüchts liefert folgende Funktion:
18 -{{formula}}g(t)=\frac{240\cdot2}{2+(240-2)e^{k\cdot240\cdot t}{{/formula}}
19 +{{formula}}g(t)=\frac{240\cdot 2}{2+(240-2)e^{k\cdot 240\cdot t}}{{/formula}}
19 19  (%class=abc start=4%)
20 20  1. (((Bestimme //k// für den Fall, dass das Gerücht nach 10 Stunden 90 % der Schüler*innen erreicht hat!
21 21  {{formula}}g(10)=0,9\cdot240=216{{/formula}}
22 -{{formula}}\Rightarrow 216=\frac{240\cdot2}{2+(240-2)e^{k\cdot240\cdot 10}{{/formula}}
23 -{{formula}}\Rightarrow 216=\frac{480}{2+238e^{2400\cdot k}{{/formula}} | {{formula}}\cdot(2+238e^{2400k}) :216{{/formula}}
23 +{{formula}}\Rightarrow 216=\frac{240\cdot2}{2+(240-2)e^{k\cdot240\cdot 10}}{{/formula}}
24 +{{formula}}\Rightarrow 216=\frac{480}{2+238e^{2400\cdot k}}{{/formula}} | {{formula}}\cdot(2+238e^{2400k}) :216{{/formula}}
24 24  {{formula}}\Rightarrow 2+238e^{2400\cdot k}=\frac{20}{9}{{/formula}} | {{formula}}-2{{/formula}}
25 25  {{formula}}\Rightarrow 238e^{2400\cdot k}=\frac{2}{9}{{/formula}} | {{formula}}:238{{/formula}}
26 26  {{formula}}\Rightarrow e^{2400\cdot k}=-\frac{1}{1071}{{/formula}} | {{formula}}\ln{{/formula}}
... ... @@ -28,7 +28,11 @@
28 28  {{formula}}\Rightarrow 2400\cdot k\approx -6,976{{/formula}} | {{formula}}:2400{{/formula}}
29 29  {{formula}}\Rightarrow k\approx \frac{-6,976}{2400}{{/formula}}
30 30  {{formula}}\Rightarrow k\approx 0,0029{{/formula}}
31 -{{formula}}g(t)=\frac{240\cdot2}{2+(240-2)e^{-0,6976 \cdot t}{{/formula}}
32 +{{formula}}g(t)=\frac{240\cdot2}{2+(240-2)e^{-0,6976 \cdot t}}{{/formula}}
32 32  )))
33 -1. Zeichne das Schaubild mithilfe einer Wertetabelle in einem Intervall, das dir geeignet erscheint.
34 -1. Ermittle graphisch, wann die Hälfte der Schüler*innen informiert ist.
34 +1. ((([[image:Ausbreitung.svg||style="width: 500px; float:right"]]Zeichne das Schaubild mithilfe einer Wertetabelle in einem Intervall, das dir geeignet erscheint.
35 +Ein geeigneter Ausschnitt ist etwa das Intervall //[0; 12]//. Der Punkt //(10|216)// sollte zu sehen sein und die Asymptote //y=240// sollte zu sehen sein.
36 +)))
37 +1. (((Ermittle graphisch, wann die Hälfte der Schüler*innen informiert ist.
38 +Man zeichnet die Gerade //y=120// und liest die x-Koordinate des Schnittpunkts ab. Nach knapp 7 Stunden ist die Hälfte der Schüler*innen informiert
39 +)))
Ausbreitung.ggb
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Inhalt
Ausbreitung.svg
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