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Version 91.1 von Dirk Tebbe am 2025/05/20 14:44
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3 [[Kompetenzen.K1]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann in verschiedenen Anwendungssituationen den Unterschied zwischen momentaner und durchschnittlicher Änderungsrate erläutern
4 [[Kompetenzen.K1]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die grafisch oder rechnerisch ermittelten Änderungsraten im Anwendungskontext deuten
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7 {{lernende}}
8 Links auf Selbstlernmaterial
9 [[KMap Wissenskarte: Mittlere Änderungsrate>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Differentialrechnung/Mittlere%20%C3%84nderungsrate]]
10 {{/lernende}}
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13 {{aufgabe id="Die durchschnittliche Änderungsrate für ein vorgegebenes Intervall berechnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="4"}}
14 Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion //f// im Intervall {{formula}}\left[-3;2\right]{{/formula}}.
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16 1. {{formula}}f(x)=5x^2-3{{/formula}}
17 1. {{formula}}f(x)=0,25x^4-x^2-3{{/formula}}
18 1. {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}
19 {{/aufgabe}}
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23 {{aufgabe id="Bestimmung eines Kurvenpunktes zu vorgegebener durchschnittlicher Änderungsrate" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
24 Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}} im Intervall {{formula}}\left[-1;b\right]{{/formula}}.
25 Ermittle einen Punkt P(b|{{formula}}f(b){{/formula}}), der folgende Bedingung erfüllt:
26 {{formula}}m_s=\frac{f(b)-1}{b+1}=1,5{{/formula}}
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28 {{/aufgabe}}
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30 {{aufgabe id="Bestimmung eines Funktionsterms aus Differenzenquotient" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
31 Bestimme einen Funktionsterm g, so dass gilt
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33 {{formula}}m_s=\frac{g(4)-g(2)}{4-2}=2{{/formula}}
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35 1. für {{formula}}g(x)=mx{{/formula}}
36 1. für {{formula}}g(x)=ax^2{{/formula}}
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38 {{/aufgabe}}
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40 {{aufgabe id="BMX" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="10" quelle="IQB e.V. 2019 Analysis gAN Teil 2 CAS" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" links="[[Interaktiv erkunden>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Differentialrechnung/Mittlere%20%C3%84nderungsrate#erkunden]]"}}
41 BMX-Fahrräder sind speziell für das Gelände ausgelegte Sportgeräte. Für den professionellen Einsatz dieser Fahrräder wird auf horizontalem Untergrund eine 3 m breite Sprungschanze installiert. Im Längsschnitt der Schanze kann deren Profillinie für {{formula}}x ∈ \in\left[ -8;0 \right]{{/formula}} modellhaft durch die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion f mit
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43 {{formula}}
44 f(x)=-\frac{5}{256}x^3+\frac{3}{4}x+2
45 {{/formula}}
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47 beschrieben werden. Die Abbildung 1 zeigt den zugehörigen Teil des Graphen von //f//.
48 Der Startpunkt, von dem aus die Schanze durchfahren wird, wird durch den Punkt {{formula}}S( -8 | f ( -8 ) ){{/formula}} dargestellt, der Absprungpunkt durch {{formula}}A(0 | f ( 0 ) ){{/formula}}.
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50 [[Abbildung 1>>image:Schanze.png]]
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52 Veranschauliche in Abbildung 1 die mittlere Steigung der Schanze zwischen Startpunkt und Absprungpunkt. Bestimme diese Steigung.
53 {{/aufgabe}}
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55 {{aufgabe id="Laufband" afb="II" kompetenzen="K3, K5" quelle="IQB e.V. 2019 Analysis gAN Teil 2 WTR" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
56 Im Rahmen eines Tests läuft ein Sportler auf einem Laufband. Dabei wird bei ansteigender Geschwindigkeit jeweils die Konzentration sogenannter Laktate im Blut gemessen.
57 Die Abhängigkeit der Laktatkonzentration von der Geschwindigkeit kann für {{formula}}8,5\leq x \leq 17,5{{/formula}} modellhaft durch die Funktion //k// beschrieben werden mit:
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59 {{formula}}
60 k(x) = \frac{1}{40}(x^{3}-30x^{2}+288x-815)
61 {{/formula}}
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63 Dabei ist {{formula}}x{{/formula}} die Geschwindigkeit des Sportlers in Kilometer pro Stunde und //k// die Laktatkonzentration in Millimol pro Liter {{formula}}\frac{mmol}{l}{{/formula}}. Berechne im Modell für den Geschwindigkeitsbereich von 12 bis 17,5 {{formula}}\frac{km}{h}{{/formula}} die mittlere Änderungsrate der Laktatkonzentration.
64 {{/aufgabe}}
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66 {{aufgabe id="Kondensator" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="Abi 2012 Anwendung, modifiziert"}}
67 Ein Kondensator ist ein Bauteil, das elektrische Ladung speichert. Der Ladevorgang eines Kondensators wird im Labor untersucht. Zum Zeitpunkt t = 0 beginnt der Aufladevorgang. Die Stärke des elektrischen Stroms, der beim Aufladen fließt, wird gemessen. Die Messwerte sind in folgender Tabelle zusammengefasst:
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69 (% style="width:min-content" %)
70 |=Zeit [s]|1,0|2,4|4,8|7,2|9,6
71 |=Stromstärke [mA]|9,0|6,0|3,0|1,5|0,75
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73 Ermittle einen Zeitraum beim Ladevorgang, in der die durchschnittliche Änderungsrate der Stromstärke halb so groß ist wie im Zeitraum von 2,4 s bis 4,8 s!
74 {{/aufgabe}}
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76 ((({{seitenreflexion kompetenzen="3" anforderungsbereiche="1" kriterien="2" menge="1"/}})))
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78 {{lehrende}}
79 Dieser Abschnitt ist nur für angemeldete Benutzer*innen sichtbar .. also nicht für Schüler*innen
80 {{/lehrende}}