Änderungen von Dokument BPE 6.2 Von der Sekante zur Tangente

Zuletzt geändert von Stephanie Wietzorek am 2025/06/27 20:00

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am 2025/06/27 10:06
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.dirktebbe
1 +XWiki.holgerengels
Inhalt
... ... @@ -1,6 +1,5 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -=== Kompetenzen ===
4 4  [[Kompetenzen.K1]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die durchschnittliche Änderungsrate als Steigung der Sekante deuten
5 5  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die durchschnittliche Änderungsrate grafisch aus einem Funktionsgraphen bestimmen
6 6  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die durchschnittliche Änderungsrate algebraisch aus einem Funktionsterm bestimmen
... ... @@ -7,40 +7,99 @@
7 7  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die durchschnittliche Änderungsrate aus einer Wertetabelle bestimmen
8 8  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die momentane Änderungsrate als Steigung der Tangente grafisch bestimmen
9 9  
10 -{{aufgabe id="Die durchschnittliche Änderungsrate als Steigung der Sekanten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="20"}}
11 -Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=-0,5x^2\cdot (x-4){{/formula}} für {{formula}}x\in \mathbb{R}{{/formula}}. Ihr Schaubild ist {{formula}}K_f{{/formula}}.
12 -Gegeben sind zwei Kurvenpunkte A(1|f(1)) und B(4|f(4)).
13 -
14 - a) Berechne die durchschnittliche Änderungsrate im Intervall {{formula}}\left[1;4\right]{{/formula}}.
15 -
16 - b) Zeichne {{formula}}K_f{{/formula}} für {{formula}}0\leq x\leq 4{{/formula}}.
17 - Zeichne die Sekante durch die Punkte A und B und bestimme die Steigung dieser Sekante.
18 -
19 - c) Was stellst du fest?
9 +{{aufgabe id="Änderungsrate Intervall" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="4"}}
10 +Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion //f// im Intervall {{formula}}\left[-3;2\right]{{/formula}}.
11 +1. {{formula}}f(x)=5x^2-3{{/formula}}
12 +1. {{formula}}f(x)=0,25x^4-x^2-3{{/formula}}
13 +1. {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}
14 +{{/aufgabe}}
20 20  
16 +{{aufgabe id="Änderungsrate offenes Intervall" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
17 +Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}} im Intervall {{formula}}\left[-1;b\right]{{/formula}}. Ermittle einen Punkt P(b|{{formula}}f(b){{/formula}}), der folgende Bedingung erfüllt:
18 +{{formula}}m_s=\frac{f(b)-1}{b+1}=1,5{{/formula}}
19 +{{/aufgabe}}
21 21  
21 +{{aufgabe id="Funktionsterms aus Differenzenquotient" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
22 +Bestimme einen Funktionsterm g, so dass gilt: {{formula}}m_s=\frac{g(4)-g(2)}{4-2}=2{{/formula}}
23 +1. für {{formula}}g(x)=mx{{/formula}}
24 +1. für {{formula}}g(x)=ax^2{{/formula}}
22 22  {{/aufgabe}}
23 23  
24 -{{aufgabe id="Aus Term" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
27 +{{aufgabe id="Die durchschnittliche Änderungsrate als Steigung der Sekante berechnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="20"}}
28 +Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=-0,5x^2\cdot (x-4){{/formula}} für {{formula}}x\in \mathbb{R}{{/formula}}. Ihr Schaubild ist {{formula}}K_f{{/formula}}.
29 +Gegeben sind zwei Kurvenpunkte A(1|f(1)) und B(4|f(4)).
30 +(%class=abc%)
31 +1. Berechne die durchschnittliche Änderungsrate im Intervall {{formula}}\left[1;4\right]{{/formula}}.
32 +1. Zeichne {{formula}}K_f{{/formula}} für {{formula}}0\leq x\leq 4{{/formula}}. Zeichne die Sekante durch die Punkte A und B und bestimme die Steigung dieser Sekante.
33 +1. Was stellst du fest?
34 +{{/aufgabe}}
35 +
36 +{{aufgabe id="Die durchschnittliche Änderungsrate aus dem Funktionsterm bestimmen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
25 25  Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion //f// im angegebenen Intervall.
38 +(%class=abc%)
39 +1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} für {{formula}}\left[\frac{1}{2};4\right]{{/formula}}
40 +1. {{formula}}g(x)=e^{-x}-2,5{{/formula}} für {{formula}}\left[-4;1\right]{{/formula}}
41 +1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{5}x^2-5{{/formula}} für {{formula}}\left[-5;5\right]{{/formula}}
42 +{{/aufgabe}}
26 26  
27 -a) {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} für {{formula}}\left[\frac{1}{2};4\right]{{/formula}}
44 +{{aufgabe id="Die durchschnittliche Änderungsrate aus der Wertetabelle bestimmen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
45 +Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate für die Intervalle {{formula}}\left[0;2\right]{{/formula}} und {{formula}}\left[1;3\right]{{/formula}}. Was stellst du fest?
46 +|x|0|1|2|3
47 +|y|1|2|4|8
48 +{{/aufgabe}}
49 +
50 +{{aufgabe id="Von der Sekante zur Tangente" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA" zeit="15" interaktiv="https://www.geogebra.org/classic/frkdabw2"}}
51 +Gegeben ist eine Normalparabel mit einem festen Punkt A(1|f(1)) und einem auf der Normalparabel beliebigem Punkt B(1+h|f(1+h)).
28 28  
29 -b) {{formula}}g(x)=e^{-x}-2,5{{/formula}} für {{formula}}\left[-4;1\right]{{/formula}}
53 +[[image:Sekante.png||width="500px"]]
30 30  
31 -c) {{formula}}f(x)=\frac{1}{5}x^2-5{{/formula}} für {{formula}}\left[-5;5\right]{{/formula}}
55 +(%class=abc%)
56 +1. Bestimme die Koordinaten des Punktes B für h = 2 und berechne die Steigung der Sekante zwischen A und B.
57 +1. Gib eine allgemeine Formel für die Steigung der Sekante zwischen A und dem beliebigem Punkt B an.
58 +1. Beschreibe, wie sich die Lage von B verändert, wenn h immer kleiner wird (h geht gegen 0)
59 +1. Berechne die Sekantensteigung für h = 0,1.
60 +1. Die Tangente im Punkt A besitzt die Gleichung {{formula}}y = 2x - 1{{/formula}}. Stelle einen Zusammenhang zwischen der Steigung der Sekante und der Tangentensteigung in Abhängigkeit von h auf.
61 +{{/aufgabe}}
32 32  
63 +{{aufgabe id="BMX" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="10" quelle="IQB e.V. 2019 Analysis gAN Teil 2 CAS" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" links="[[Interaktiv erkunden>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Differentialrechnung/Mittlere%20%C3%84nderungsrate#erkunden]]"}}
64 +BMX-Fahrräder sind speziell für das Gelände ausgelegte Sportgeräte. Für den professionellen Einsatz dieser Fahrräder wird auf horizontalem Untergrund eine 3 m breite Sprungschanze installiert. Im Längsschnitt der Schanze kann deren Profillinie für {{formula}}x ∈ \in\left[ -8;0 \right]{{/formula}} modellhaft durch die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion f mit
65 +
66 +{{formula}}
67 +f(x)=-\frac{5}{256}x^3+\frac{3}{4}x+2
68 +{{/formula}}
69 +
70 +beschrieben werden. Die Abbildung 1 zeigt den zugehörigen Teil des Graphen von //f//.
71 +Der Startpunkt, von dem aus die Schanze durchfahren wird, wird durch den Punkt {{formula}}S( -8 | f ( -8 ) ){{/formula}} dargestellt, der Absprungpunkt durch {{formula}}A(0 | f ( 0 ) ){{/formula}}.
72 +
73 +[[Abbildung 1>>image:Schanze.png]]
74 +
75 +Veranschauliche in Abbildung 1 die mittlere Steigung der Schanze zwischen Startpunkt und Absprungpunkt. Bestimme diese Steigung.
33 33  {{/aufgabe}}
34 34  
78 +{{aufgabe id="Laufband" afb="II" kompetenzen="K3, K5" quelle="IQB e.V. 2019 Analysis gAN Teil 2 WTR" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
79 +Im Rahmen eines Tests läuft ein Sportler auf einem Laufband. Dabei wird bei ansteigender Geschwindigkeit jeweils die Konzentration sogenannter Laktate im Blut gemessen.
80 +Die Abhängigkeit der Laktatkonzentration von der Geschwindigkeit kann für {{formula}}8,5\leq x \leq 17,5{{/formula}} modellhaft durch die Funktion //k// beschrieben werden mit:
35 35  
36 -{{aufgabe id="Aus Wertetabelle" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
37 -Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate für die Intervalle {{formula}}\left[0;2\right]{{/formula}} und {{formula}}\left[1;3\right]{{/formula}}. Was stellst du fest?
38 -
39 - (((
40 -|x|0|1|2|3
41 -|y|1|2|4|8
42 -)))
82 +{{formula}}
83 +k(x) = \frac{1}{40}(x^{3}-30x^{2}+288x-815)
84 +{{/formula}}
43 43  
86 +Dabei ist {{formula}}x{{/formula}} die Geschwindigkeit des Sportlers in Kilometer pro Stunde und //k// die Laktatkonzentration in Millimol pro Liter {{formula}}\frac{mmol}{l}{{/formula}}. Berechne im Modell für den Geschwindigkeitsbereich von 12 bis 17,5 {{formula}}\frac{km}{h}{{/formula}} die mittlere Änderungsrate der Laktatkonzentration.
87 +{{/aufgabe}}
44 44  
45 -
89 +{{aufgabe id="Kondensator" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="Abi 2012 Anwendung, modifiziert"}}
90 +Ein Kondensator ist ein Bauteil, das elektrische Ladung speichert. Der Ladevorgang eines Kondensators wird im Labor untersucht. Zum Zeitpunkt t = 0 beginnt der Aufladevorgang. Die Stärke des elektrischen Stroms, der beim Aufladen fließt, wird gemessen. Die Messwerte sind in folgender Tabelle zusammengefasst:
91 +
92 +(% style="width:min-content" %)
93 +|=Zeit [s]|1,0|2,4|4,8|7,2|9,6
94 +|=Stromstärke [mA]|9,0|6,0|3,0|1,5|0,75
95 +
96 +Ermittle einen Zeitraum beim Ladevorgang, in der die durchschnittliche Änderungsrate der Stromstärke halb so groß ist wie im Zeitraum von 2,4 s bis 4,8 s!
46 46  {{/aufgabe}}
98 +
99 +{{lehrende}}
100 +Der Bildungsplaninhalt "Ich kann die momentane Änderungsrate als Steigung der Tangente grafisch bestimmen" wird in BPE 6.2 behandelt.
101 +{{/lehrende}}
102 +
103 +{{seitenreflexion/}}
104 +
Schieberegler Sekante.ggb
Author
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1 +XWiki.wies
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