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Wiki-Quellcode von BPE 7 Einheitsübergreifend

Version 105.1 von Holger Engels am 2024/02/05 16:24
Verstecke letzte Bearbeiter
Caroline Leplat 74.1 1 {{aufgabe id="Pyramide" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/grundlegend/2021_M_grundlege_16.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
Caroline Leplat 77.1 2 Gegeben ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Gegeben sind die Punkte {{formula}}A(12|0|2), B(12|8|2),C(4|8|2){{/formula}}und {{formula}} S(8|4|7,5){{/formula}}.
Caroline Leplat 85.1 3 1. Zeichnen Sie die Pyramide in ein dreidimensionales Koordinatensystem und benennen sie den Eckpunkt D.
Caroline Leplat 84.1 4 1. Bestimmen Sie den Mittelpunkt M der Grundfläche der Pyramide.
5 1. Zeigen Sie, dass es sich um eine quadratische Grundfläche handelt. Erläutern Sie die Bedeutung von {{formula}}\vec{MA}\bullet\vec{MS}=0{{/formula}}.
Caroline Leplat 89.1 6 1. Untersuchen Sie, welche besondere Lage die Grundfläche der Pyramide im Koordinatensystem hat.{{/aufgabe}}
Caroline Leplat 78.1 7
Caroline Leplat 96.1 8 {{aufgabe id="Würfel" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/grundlegend/2021_M_grundlege_16.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
9 Die Punkte {{formula}}A(0|0|0), B(5|0|0), C(5|5|0) und H(0|0|5){{/formula}} bilden die Eckpunkte eines Würfels.
Caroline Leplat 97.1 10 1. Bestimmen Sie, die fehlenden Koordinaten der Punkte D, E und G des Würfels und skizzieren Sie diesen in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
Caroline Leplat 102.1 11 1. Zeigen Sie, dass jeweils die gegenüber liegenden Seitenflächen 5 Längeneinheiten voneinander entfernt sind.
12 1. Zeigen Sie, dass das Volumen des Würfels 125 Volumeneinheiten beträgt.
Caroline Leplat 98.1 13 Das Volumen einer Pyramide berechnet sich durch die Formel {{formula}}V=\frac{1}{3}\bullet\left(\left|\vec{AB}\right|\right)^2\bullet\left|\vec{MS}\right|{{/formula}}.
Caroline Leplat 100.1 14 1. Skizzieren Sie in ein dreidimensionales Koordinatensystem eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, die das gleiche Volumen wie der Würfel besitzt. Geben Sie die Eckpunkte ihrer Pyramide an.
Caroline Leplat 96.1 15 {{/aufgabe}}
Caroline Leplat 94.1 16
Caroline Leplat 103.1 17 {{aufgabe id="Winkel" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/grundlegend/2021_M_grundlege_16.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
18 Der Vektor {{formula}}\vec{a}{{/formula}} mit der Länge 2 cm und der Vektor {{formula}}\vec{b}{{/formula}} mit der Länge 3 cm schließen einen Winkel {{formula}}\alpha{{/formula}} ein. Begründen Sie, dass die Gegenvektoren von {{formula}}\vec{a}{{/formula}} und {{formula}}\vec{b}{{/formula}} den gleichen Winkel einschließen.
19 {{/aufgabe}}
Caroline Leplat 94.1 20
Caroline Leplat 104.1 21 {{aufgabe id="Richtungsvektor" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/grundlegend/2021_M_grundlege_16.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
22 1. Benennen Sie die in der Figur erkennbaren Vektoren.
23 1. Begründen Sie mit Hilfe der Skizze, dass die beiden Gleichungen
24 {{formula}}\vec{AB}=\vec{OA}+\vec{OB}{{/formula}} und
25 {{formula}}\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}{{/formula}} den gleichen Richtungsvektor beschreiben.
26 {{/aufgabe}}
Caroline Leplat 96.1 27
Caroline Leplat 103.1 28
Martina Wagner 64.1 29 {{aufgabe id="Nachweis Quader" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/erhoeht/Beispielaufgaben.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
akukin 9.1 30 [[image:aufgespannterQuader.PNG||width="150" style="float: right"]]
akukin 10.1 31 Die Vektoren {{formula}}\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}},{{formula}}\vec{b}= \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right){{/formula}} und {{formula}}\vec{c_t}= \left(\begin{array}{c} 4t \\ 2t \\ -5t \end{array}\right){{/formula}} spannen für jeden Wert von {{formula}} t \in \mathbb{R}\setminus\{0\}{{/formula}} einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von {{formula}}t{{/formula}}.
Holger Engels 16.2 32 1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
33 1. Bestimme diejenigen Werte von {{formula}}t{{/formula}}, für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
akukin 3.1 34 {{/aufgabe}}
akukin 11.1 35
akukin 12.1 36
Martina Wagner 65.1 37 {{aufgabe id="Berechnungen am Quader" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4,K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/grundlegend/2021_M_grundlege_4.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
akukin 45.1 38 [[image:QuaderOrtsvektoren.jpg||width="230" style="float: right"]]Die Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}D{{/formula}}. Die Grundfläche {{formula}}OABC{{/formula}} des Quaders ist quadratisch.
Holger Engels 16.2 39 1. Beschreibe die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor {{formula}}\frac{1}{2}\cdot (\vec{b}-\vec{a}){{/formula}} gehört.
akukin 12.1 40
41 Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} hat den Ortsvektor {{formula}}\frac{1}{2}\vec{b}+ \vec{d}{{/formula}}.
Holger Engels 24.2 42
Holger Engels 16.2 43 (% start="2" %)
44 1. Zeichne {{formula}}P{{/formula}} in die Abbildung ein.
45 1. Begründe, dass der Wert des Terms {{formula}}\vec{b} \circ \overline{OP}{{/formula}} nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.
akukin 15.1 46 {{/aufgabe}}
47
Martina Wagner 67.1 48 {{aufgabe id="Rasenfläche" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/grundlegend/2021_M_grundlege_16.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
akukin 51.1 49 [[image:Rasenfläche.JPG||width="300" style="float: right"]]
akukin 17.1 50 Die Punkte {{formula}}A(0|0|0), B(18|0|1,5), C(12|10|1), D(12|15|1){{/formula}} und {{formula}}E(0|15|0){{/formula}} stellen modellhaft die Eckpunkte einer ebenen Rasenfläche dar (vgl. Abbildung). Die Strecken {{formula}}\overline{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overline{DE}{{/formula}} sind parallel.
akukin 15.1 51 Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.
Holger Engels 24.2 52 1. Zeige, dass auch {{formula}}\overline{AE}{{/formula}} und {{formula}}\overline{CD}{{/formula}} parallel sind und dass {{formula}}\overline{CD}{{/formula}} und {{formula}}\overline{DE}{{/formula}} einen rechten Winkel einschließen.
53 1. Ausgehend vom Ansatz {{formula}}|\overline{AE}| \cdot |\overline{DE}| + \frac{1}{2}\cdot (|\overline{AB}|- |\overline{DE}|)\cdot\bigl(|\overline{AE}|-|\overline{CD}|\bigl) {{/formula}} kann eine Größe berechnet werden, die im betrachteten Sachzusammenhang eine Rolle spielt. Nenne diese Größe und erläutere den gegebenen Ansatz.
54
akukin 20.1 55 Die Rasenfläche wird von einem Roboter gemäht, der die Form eines flachen Zylinders hat. Zur Beschreibung der Bewegung des Roboters wird der Mittelpunkt seiner kreisförmigen Unterseite betrachtet, die einen Radius von 20 cm hat. Es soll vereinfachend davon ausgegangen werden, dass dieser Mittelpunkt die Rasenfläche berührt. Die Position des Mittelpunkts wird zunächst durch {{formula}}P(3,6|8|0,3){{/formula}} dargestellt (vgl. Abbildung). Die anschließende Bewegung des Mittelpunkts verläuft im Modell entlang der Gerade {{formula}}g{{/formula}}, die durch {{formula}}P{{/formula}} verläuft und den Richtungsvektor {{formula}}\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}} hat. Dabei bewegt sich der Roboter auf den durch {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} dargestellten Rand der Rasenfläche zu.
akukin 15.1 56
Holger Engels 24.2 57 (% start="3" %)
Holger Engels 25.1 58 1. Berechne die Koordinaten des Punkts {{formula}}Q{{/formula}}, in dem {{formula}}g{{/formula}} die Strecke {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} schneidet. //(zur Kontrolle: {{formula}}Q(15,6|4|1,3){{/formula}} )//
Holger Engels 24.2 59 1. Weise nach, dass der Winkel, unter dem sich der Roboter dem Rand der Rasenfläche nähert, etwa 41° groß ist.
60 1. Der Roboter ändert seine Richtung, sobald der Rand seiner Unterseite den Rand der Rasenfläche erreicht. Der Punkt, der die Position des Mittelpunkts im Moment der Richtungsänderung darstellt, wird mit {{formula}} S {{/formula}} bezeichnet. Berechne mithilfe einer geeigneten Skizze die Koordinaten von {{formula}}S{{/formula}}.
akukin 15.1 61 {{/aufgabe}}
akukin 22.1 62
Martina Wagner 67.1 63 {{aufgabe id="Ähnlichkeit und Strahlensätze" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2022/abitur/pools2022/mathematik/erhoeht/2022_M_erhoeht_A_6.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
akukin 23.1 64 [[image:QuadratABCD.PNG||width="220" style="float: right"]]
akukin 24.1 65 Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Quadrat {{formula}}ABCD{{/formula}}. Die Gerade {{formula}}g{{/formula}}, die durch {{formula}}B{{/formula}} und den Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Seite {{formula}}\overline{AD}{{/formula}} verläuft, hat den Richtungsvektor {{formula}}\vec{v}{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}F{{/formula}} ist der Fußpunkt des Lots von {{formula}}A{{/formula}} auf {{formula}}g{{/formula}}.
akukin 22.1 66
Holger Engels 24.2 67 1. Begründe, dass {{formula}}|\overline{BF}|=2\cdot |\overline{AF}|{{/formula}} gilt.
68 1. Gib einen Term an, mit dem man die Koordinaten von {{formula}}B{{/formula}} bestimmen könnte, wenn die Koordinaten von {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}F{{/formula}} sowie die Komponenten von {{formula}} \vec{v}{{/formula}} bekannt wären.
akukin 22.1 69 {{/aufgabe}}
akukin 27.1 70
Holger Engels 37.2 71 {{seitenreflexion/}}