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BPE 7 Einheitsübergreifend

Version 105.1 von Holger Engels am 2024/02/05 16:24

Gegeben ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Gegeben sind die Punkte A(12|0|2), B(12|8|2),C(4|8|2)und S(8|4|7,5).

  1. Zeichnen Sie die Pyramide in ein dreidimensionales Koordinatensystem und benennen sie den Eckpunkt D.
  2. Bestimmen Sie den Mittelpunkt M der Grundfläche der Pyramide.
  3. Zeigen Sie, dass es sich um eine quadratische Grundfläche handelt. Erläutern Sie die Bedeutung von \vec{MA}\bullet\vec{MS}=0.
  4. Untersuchen Sie, welche besondere Lage die Grundfläche der Pyramide im Koordinatensystem hat.

#iqb

AFB   IIKompetenzen   K1 K2 K3 K4 K5Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Die Punkte A(0|0|0), B(5|0|0), C(5|5|0) und H(0|0|5) bilden die Eckpunkte eines Würfels.

  1. Bestimmen Sie, die fehlenden Koordinaten der Punkte D, E und G des Würfels und skizzieren Sie diesen in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
  2. Zeigen Sie, dass jeweils die gegenüber liegenden Seitenflächen 5 Längeneinheiten voneinander entfernt sind.
  3. Zeigen Sie, dass das Volumen des Würfels 125 Volumeneinheiten beträgt.
    Das Volumen einer Pyramide berechnet sich durch die Formel V=\frac{1}{3}\bullet\left(\left|\vec{AB}\right|\right)^2\bullet\left|\vec{MS}\right|.
  4. Skizzieren Sie in ein dreidimensionales Koordinatensystem eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, die das gleiche Volumen wie der Würfel besitzt. Geben Sie die Eckpunkte ihrer Pyramide an.

#iqb

AFB   IIKompetenzen   K1 K2 K4 K5Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Der Vektor \vec{a} mit der Länge 2 cm und der Vektor \vec{b} mit der Länge 3 cm schließen einen Winkel \alpha ein. Begründen Sie, dass die Gegenvektoren von \vec{a} und \vec{b} den gleichen Winkel einschließen.

#iqb

AFB   IIKompetenzen   K1 K4 K5 K6Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.
  1. Benennen Sie die in der Figur erkennbaren Vektoren.
  2. Begründen Sie mit Hilfe der Skizze, dass die beiden Gleichungen
     \vec{AB}=\vec{OA}+\vec{OB} und
     \vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA} den gleichen Richtungsvektor beschreiben.

#iqb

AFB   IIKompetenzen   K4 K5Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.

aufgespannterQuader.PNG
Die Vektoren  \vec{a}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right),\vec{b}= \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) und \vec{c_t}= \left(\begin{array}{c} 4t \\ 2t \\ -5t \end{array}\right) spannen für jeden Wert von t \in \mathbb{R}\setminus\{0\} einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von t.

  1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
  2. Bestimme diejenigen Werte von t, für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.

#iqb

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QuaderOrtsvektoren.jpgDie Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte A, B und D. Die Grundfläche OABC des Quaders ist quadratisch.

  1. Beschreibe die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor \frac{1}{2}\cdot (\vec{b}-\vec{a}) gehört.

Der Punkt P hat den Ortsvektor \frac{1}{2}\vec{b}+ \vec{d}.

  1. Zeichne P in die Abbildung ein.
  2. Begründe, dass der Wert des Terms \vec{b} \circ \overline{OP} nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.

#iqb

AFB   IIIKompetenzen   K1 K2 K4 K5 K6Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Rasenfläche.JPG
Die Punkte A(0|0|0), B(18|0|1,5), C(12|10|1), D(12|15|1) und E(0|15|0) stellen modellhaft die Eckpunkte einer ebenen Rasenfläche dar (vgl. Abbildung). Die Strecken \overline{AB} und \overline{DE} sind parallel.
Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

  1. Zeige, dass auch \overline{AE} und \overline{CD} parallel sind und dass \overline{CD} und \overline{DE} einen rechten Winkel einschließen.
  2. Ausgehend vom Ansatz |\overline{AE}| \cdot |\overline{DE}| + \frac{1}{2}\cdot (|\overline{AB}|- |\overline{DE}|)\cdot\bigl(|\overline{AE}|-|\overline{CD}|\bigl)  kann eine Größe berechnet werden, die im betrachteten  Sachzusammenhang eine Rolle spielt. Nenne diese Größe und erläutere den gegebenen Ansatz.

Die Rasenfläche wird von einem Roboter gemäht, der die Form eines flachen Zylinders hat. Zur Beschreibung der Bewegung des Roboters wird der Mittelpunkt seiner kreisförmigen Unterseite betrachtet, die einen Radius von 20 cm hat. Es soll vereinfachend davon ausgegangen werden, dass dieser Mittelpunkt die Rasenfläche berührt. Die Position des Mittelpunkts wird zunächst durch P(3,6|8|0,3) dargestellt (vgl. Abbildung). Die anschließende Bewegung des Mittelpunkts verläuft im Modell entlang der Gerade g, die durch P verläuft und den Richtungsvektor \vec{a}= \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) hat. Dabei bewegt sich der Roboter auf den durch \overline{BC} dargestellten Rand der Rasenfläche zu.

  1. Berechne die Koordinaten des Punkts Q, in dem g die Strecke \overline{BC} schneidet. (zur Kontrolle: Q(15,6|4|1,3) )
  2. Weise nach, dass der Winkel, unter dem sich der Roboter dem Rand der Rasenfläche nähert, etwa 41° groß ist.
  3. Der Roboter ändert seine Richtung, sobald der Rand seiner Unterseite den Rand der Rasenfläche erreicht. Der Punkt, der die Position des Mittelpunkts im Moment der Richtungsänderung darstellt, wird mit S  bezeichnet. Berechne mithilfe einer geeigneten Skizze die Koordinaten von S.

#iqb

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QuadratABCD.PNG
Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Quadrat ABCD. Die Gerade g, die durch B und den Mittelpunkt M der Seite \overline{AD} verläuft, hat den Richtungsvektor \vec{v}. Der Punkt F ist der Fußpunkt des Lots von A auf g.

  1. Begründe, dass |\overline{BF}|=2\cdot |\overline{AF}| gilt.
  2. Gib einen Term an, mit dem man die Koordinaten von B bestimmen könnte, wenn die Koordinaten von A und F sowie die Komponenten von \vec{v} bekannt wären.

#iqb

AFB   IIIKompetenzen   K1 K2 K4Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

K1K2K3K4K5K6
I000000
II431451
III331322
Bearbeitungszeit gesamt: 0 min
Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst