BPE_7

Version 13.1 von akukin am 2023/12/29 21:58

Aufgabe 1 Nachweis Dreieck (gAN)

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1|2|5) , B(2|7|8) und C(-3|2|4) gegeben.
a) Weise nach, dass A, B und Eckpunkte eines Dreiecks sind.

b) Für jede reelle Zahl ist ein Punkt $D_a(a|2+a\sqrt{2}|5+\sqrt{2})$ gegeben. Bestimme alle Werte von , für die die Strecke von nach D_a die Länge 2 hat.

#iqb

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Aufgabe 2 Eckpunkte einer Pyramide (gAN)

In einem kartesischen Koordinatensystem ist die gerade Pyramide ABCDS gegeben. Die Kantenlänge der quadratischen Grundfläche ist 5, die Höhe der Pyramide 7.

a) Gib mögliche Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide an.

b) Mindestens einer der Eckpunkte soll so verschoben werden, dass sich das Volumen der Pyramide vervierfacht. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten. Gib für zwei dieser Möglichkeiten jeweils die Koordinaten der verschobenen Eckpunkte an und begründe deine Angabe.

#iqb

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Aufgabe 3 Nachweis Quader (gAN) 𝕃

Die Vektoren $\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$ , $\vec{b}= \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$ und $\vec{c_t}= \left(\begin{array}{c} 4t \\ 2t \\ -5t \end{array}\right)$ spannen für jeden Wert von $t \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von .

a) Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.

b) Bestimme diejenigen Werte von , für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.

#iqb

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Aufgabe 4 Pyramidenvolumen (gAN)

Betrachtet wird die Pyramide ABCS . Ihre Grundfläche ist das rechtwinklige Dreieck ABC ; die Hypotenuse $\overline{AB}$ ist 5 cm lang, die Kathete $\overline{AC}$ 4 cm. Die Kante $\overline{CS}$ steht senkrecht zur Grundfläche und hat eine Länge von 7 cm.

a) Berechne das Volumen der Pyramide.

b) Die Pyramide soll in einem Koordinatensystem dargestellt werden, in dem eine Längeneinheit 1 cm entspricht. Gib mögliche Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide an.

#iqb

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Aufgabe 5 Berechnungen am Quader (gAN) 𝕃

10-seitiger Würfel.jpg
Die Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte A, B und . Die Grundfläche OABC des Quaders ist quadratisch.

a) Beschreibe die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor $\frac{1}{2}\cdot (\vec{b}-\vec{a})$ gehört.

Der Punkt hat den Ortsvektor $\frac{1}{2}\vec{b}+ \vec{d}$ .
b) Zeichne in die Abbildung ein.

c) Begründe, dass der Wert des Terms $\vec{b} \circ \overline{OP}$ nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.