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BPE 7 Einheitsübergreifend

Version 24.2 von Holger Engels am 2024/01/06 15:34

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1|2|5), B(2|7|8) und C(-3|2|4) gegeben.

  1. Weise nach, dass A, B und C Eckpunkte eines Dreiecks sind.
  2. Für jede reelle Zahl a ist ein Punkt D_a(a|2+a\sqrt{2}|5+\sqrt{2})  gegeben. Bestimme alle Werte von a, für die die Strecke von A nach D_a die Länge 2 hat.

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K2 K5Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.

In einem kartesischen Koordinatensystem ist die gerade Pyramide ABCDS gegeben. Die Kantenlänge der quadratischen Grundfläche ist 5, die Höhe der Pyramide 7.

  1. Gib mögliche Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide an.
  2. Mindestens einer der Eckpunkte soll so verschoben werden, dass sich das Volumen der Pyramide vervierfacht. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten. Gib für zwei dieser Möglichkeiten jeweils die Koordinaten der verschobenen Eckpunkte an und begründe deine Angabe.

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K2 K5Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.

aufgespannterQuader.PNG
Die Vektoren  \vec{a}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right),\vec{b}= \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) und \vec{c_t}= \left(\begin{array}{c} 4t \\ 2t \\ -5t \end{array}\right) spannen für jeden Wert von t \in \mathbb{R}\setminus\{0\} einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von t.

  1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
  2. Bestimme diejenigen Werte von t, für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K2 K5Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Betrachtet wird die Pyramide ABCS. Ihre Grundfläche ist das rechtwinklige Dreieck ABC; die Hypotenuse \overline{AB} ist 5 cm lang, die Kathete \overline{AC} 4 cm. Die Kante \overline{CS} steht senkrecht zur Grundfläche und hat eine Länge von 7 cm.

  1. Berechne das Volumen der Pyramide. 
  2. Die Pyramide soll in einem Koordinatensystem dargestellt werden, in dem eine Längeneinheit 1 cm entspricht. Gib mögliche Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide an.

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   K2 K5 K6Bearbeitungszeit   k.A.
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QuaderOrtsvektoren.PNGDie Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte A, B und D. Die Grundfläche OABC des Quaders ist quadratisch.

  1. Beschreibe die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor \frac{1}{2}\cdot (\vec{b}-\vec{a}) gehört.

Der Punkt P hat den Ortsvektor \frac{1}{2}\vec{b}+ \vec{d}.

  1. Zeichne P in die Abbildung ein.
  2. Begründe, dass der Wert des Terms \vec{b} \circ \overline{OP} nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.

#iqb

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Quelle   IQBLizenz   k.A.

Rasenfläche.png
Die Punkte A(0|0|0), B(18|0|1,5), C(12|10|1), D(12|15|1) und E(0|15|0) stellen modellhaft die Eckpunkte einer ebenen Rasenfläche dar (vgl. Abbildung). Die Strecken \overline{AB} und \overline{DE} sind parallel.
Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

  1. Zeige, dass auch \overline{AE} und \overline{CD} parallel sind und dass \overline{CD} und \overline{DE} einen rechten Winkel einschließen.
  2. Ausgehend vom Ansatz |\overline{AE}| \cdot |\overline{DE}| + \frac{1}{2}\cdot (|\overline{AB}|- |\overline{DE}|)\cdot\bigl(|\overline{AE}|-|\overline{CD}|\bigl)  kann eine Größe berechnet werden, die im betrachteten  Sachzusammenhang eine Rolle spielt. Nenne diese Größe und erläutere den gegebenen Ansatz.

Die Rasenfläche wird von einem Roboter gemäht, der die Form eines flachen Zylinders hat. Zur Beschreibung der Bewegung des Roboters wird der Mittelpunkt seiner kreisförmigen Unterseite betrachtet, die einen Radius von 20 cm hat. Es soll vereinfachend davon ausgegangen werden, dass dieser Mittelpunkt die Rasenfläche berührt. Die Position des Mittelpunkts wird zunächst durch P(3,6|8|0,3) dargestellt (vgl. Abbildung). Die anschließende Bewegung des Mittelpunkts verläuft im Modell entlang der Gerade g, die durch P verläuft und den Richtungsvektor \vec{a}= \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) hat. Dabei bewegt sich der Roboter auf den durch \overline{BC} dargestellten Rand der Rasenfläche zu.

  1. Berechne die Koordinaten des Punkts Q, in dem g die Strecke \overline{BC}schneidet. (zur Kontrolle: Q(15,6|4|1,3) )
  2. Weise nach, dass der Winkel, unter dem sich der Roboter dem Rand der Rasenfläche nähert, etwa 41° groß ist.
  3. Der Roboter ändert seine Richtung, sobald der Rand seiner Unterseite den Rand der Rasenfläche erreicht. Der Punkt, der die Position des Mittelpunkts im Moment der Richtungsänderung darstellt, wird mit S  bezeichnet. Berechne mithilfe einer geeigneten Skizze die Koordinaten von S.

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K2 K3 K4 K5 K6Bearbeitungszeit   k.A.
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QuadratABCD.PNG
Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Quadrat ABCD. Die Gerade g, die durch B und den Mittelpunkt M der Seite \overline{AD} verläuft, hat den Richtungsvektor \vec{v}. Der Punkt F ist der Fußpunkt des Lots von A auf g.

  1. Begründe, dass |\overline{BF}|=2\cdot |\overline{AF}| gilt.
  2. Gib einen Term an, mit dem man die Koordinaten von B bestimmen könnte, wenn die Koordinaten von A und F sowie die Komponenten von \vec{v} bekannt wären.

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K2 K4Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.