Die Punkte \(B^\prime,C^\prime\) und \(M^\prime\) haben jeweils dieselben \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten wie die Punkte \(B,C\) und \(M\). Die \(x_3\)-Koordinate ist null.
Die Punkte \(A^\prime\) und \(D^\prime\) können ergänzt werden, indem die beiden Diagonalen eingezeichnet werden. Dabei ist zu beachten, dass \(M^\prime\) die beiden Diagonalen halbiert.
\(\overrightarrow{CM}\circ\overrightarrow{CB}= \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -9 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = 1\cdot 2+\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)+\left(-9\right)\cdot2=-14<0\)
Da das Skalarprodukt negativ ist, muss der Winkel zwischen den beiden Vektoren größer als \(90^\circ\) sein. Das erkennt man auch an der Kosinusformel aus der Merkhilfe:\[\cos{\left(\varphi\right)}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot|\vec{b}|}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos{\left(\varphi\right)}\]Da die Beträge immer positiv sind, kann das Skalarprodukt \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) nur dann negativ sein, wenn der Kosinus des Zwischenwinkels negativ ist.
Der Kosinus ist jedoch zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\) positiv und zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\) negativ. Also muss bei negativem Skalarprodukt der Zwischenwinkel größer als \(90^\circ\) sein.