Änderungen von Dokument Lösung Rasenfläche

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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1	1	1. {{formula}}\overline{AE}{{/formula}} und {{formula}}\overline{CD}{{/formula}} sind parallel, weil deren beiden Richtungsvektoren Vielfache von einander sind (das heißt linear abhängig sind), da {{formula}}\overrightarrow{AE}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 15 \\ 0 \end{array}\right) =3 \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right)= 3 \cdot \overrightarrow{CD}{{/formula}}
2		-
3	3	{{formula}}\overline{CD}{{/formula}} und {{formula}}\overline{DE}{{/formula}} schließen einen rechten Winkel ein, da das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren 0 ergibt: {{formula}}\overrightarrow{CD}\circ \overrightarrow{DE}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} -12 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)= (-12)\cdot 0 + 5 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0{{/formula}}.
	3	+[[image:Rasenfläche Lösung.JPG||width="350" style="float: right"]]
4	4
5		-1. Ausgehend vom gegebenen Ansatz kann der Inhalt der Rasenfläche berechnet werden. Im Modell kann die Fläche zerlegt werden in ein Rechteck mit den Seitenlängen {{formula}}|\overline{AE}|{{/formula}} und {{formula}}|\overline{DE}|{{/formula}} sowie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten die Längen {{formula}}|\overline{AB}|-|\overline{DE}|{{/formula}} und {{formula}}|\overline{AE}|-|\overline{CD}|{{/formula}} haben.
	5	+2. Ausgehend vom gegebenen Ansatz kann der Inhalt der Rasenfläche berechnet werden. Im Modell kann die Fläche zerlegt werden in ein Rechteck mit den Seitenlängen {{formula}}|\overline{AE}|{{/formula}} und {{formula}}|\overline{DE}|{{/formula}} (blau) sowie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten die Längen {{formula}}|\overline{AB}|-|\overline{DE}|{{/formula}} und {{formula}}|\overline{AE}|-|\overline{CD}|{{/formula}} (gelb) haben.
6	6
7	7
	8	+
	9	+
	10	+
	11	+
	12	+3. Die Geradengleichung {{formula}}g{{/formula}} lautet {{formula}}g: \left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) \quad (\lambda \in \mathbb{R}){{/formula}} und die Geradengleichung {{formula}}h{{/formula}} vom Punkt {{formula}}B{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}} {{formula}}h: \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right) \quad (\mu \in \mathbb{R}){{/formula}}.
	13	+
	14	+Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen {{formula}}\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right){{/formula}} liefert folgendes Gleichungssystem:
	15	+
	16	+{{formula}}
	17	+\begin{align}
	18	+\text{I} \quad 12 \lambda + 6\mu &= 14,4 \\
	19	+\text{II} \quad 4 \lambda + 10 \mu &= 8 \\
	20	+\text{III} \quad \lambda + 0,5 \mu &=1,2
	21	+\end{align}
	22	+{{/formula}}
	23	+
	24	+
	25	+{{formula}}5 \cdot \text{I} - 3 \cdot \text{II}{{/formula}} liefert die Gleichung {{formula}}48 \lambda = 48 \Leftrightarrow \lambda = 1{{/formula}}
	26	+
	27	+Einsetzen von {{formula}}\lambda = 1{{/formula}} in die Geradengleichung {{formula}}g{{/formula}} liefert
	28	+{{formula}}\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + 1 \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 15,6 \\ 4 \\ 1,3 \end{array}\right){{/formula}}
	29	+Somit ergibt sich der Punkt {{formula}}Q = (15,6|4|1,3){{/formula}}
	30	+
	31	+4. Der Winkel zwischen den Richtungsvektoren der beiden Geraden ergibt sich durch
	32	+
	33	+{{formula}}
	34	+\begin{align}
	35	+\cos(\varphi) &= \frac{\left|\left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)\right|}{\sqrt{(-6)^2+10^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{12^2+(-4)^2+1^2}}= \frac{|(-6)\cdot 12+ 10 \cdot (-4)+ (-0,5)\cdot 1|}{\sqrt{36+100+0,25}\cdot \sqrt{144+16+1}}= \frac{|-112,5|}{\sqrt{136,25}\cdot \sqrt{161}}\\
	36	+\Leftrightarrow \varphi &= \cos^{-1}\Biggl(\frac{112,5}{\sqrt{136,25}\cdot \sqrt{161}}\Biggl) \approx 41 \text{°}
	37	+\end{align}
	38	+{{/formula}}
	39	+