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Lösung Rasenfläche

Version 16.1 von akukin am 2024/01/30 16:39
  1. \(\overline{AE}\) und \(\overline{CD}\) sind parallel, weil deren beiden Richtungsvektoren Vielfache von einander sind (das heißt linear abhängig sind), da \(\overrightarrow{AE}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 15 \\ 0 \end{array}\right) =3 \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right)= 3 \cdot \overrightarrow{CD}\)
    \(\overline{CD}\) und \(\overline{DE}\) schließen einen rechten Winkel ein, da das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren 0 ergibt: \(\overrightarrow{CD}\circ \overrightarrow{DE}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} -12 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)= (-12)\cdot 0 + 5 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0\).
    Rasenfläche Lösung.JPG

2. Ausgehend vom gegebenen Ansatz kann der Inhalt der Rasenfläche berechnet werden. Im Modell kann die Fläche zerlegt werden in ein Rechteck mit den Seitenlängen \(|\overline{AE}|\) und \(|\overline{DE}|\) (blau) sowie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten die Längen \(|\overline{AB}|-|\overline{DE}|\) und \(|\overline{AE}|-|\overline{CD}|\) (gelb) haben.

3. Die Geradengleichung \(g\) lautet \(g: \left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) \quad (\lambda \in \mathbb{R})\) und die Geradengleichung \(h\) vom Punkt \(B\) nach \(C\) \(h: \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right) \quad (\mu \in \mathbb{R})\).

Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen \(\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right)\) liefert folgendes Gleichungssystem:

\[\begin{align} \text{I} \quad 12 \lambda + 6\mu &= 14,4 \\ \text{II} \quad 4 \lambda + 10 \mu &= 8 \\ \text{III} \quad \lambda + 0,5 \mu &=1,2 \end{align}\]

\(5 \cdot \text{I} - 3 \cdot \text{II}\) liefert die Gleichung \(48 \lambda = 48 \Leftrightarrow \lambda = 1\)

Einsetzen von \(\lambda = 1\) in die Geradengleichung \(g\) liefert
\(\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + 1 \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 15,6 \\ 4 \\ 1,3 \end{array}\right)\)
Somit ergibt sich der Punkt \(Q = (15,6|4|1,3)\)

4. Der Winkel zwischen den Richtungsvektoren der beiden Geraden ergibt sich durch

\[\begin{align} \cos(\varphi) &= \frac{\left|\left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)\right|}{\sqrt{(-6)^2+10^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{12^2+(-4)^2+1^2}}= \frac{|(-6)\cdot 12+ 10 \cdot (-4)+ (-0,5)\cdot 1|}{\sqrt{36+100+0,25}\cdot \sqrt{144+16+1}}= \frac{|-112,5|}{\sqrt{136,25}\cdot \sqrt{161}}\\ \Leftrightarrow \varphi &= \cos^{-1}\Biggl(\frac{112,5}{\sqrt{136,25}\cdot \sqrt{161}}\Biggl) \approx 41 \text{°} \end{align}\]