Wiki-Quellcode von Lösung Rasenfläche
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | 1. {{formula}}\overline{AE}{{/formula}} und {{formula}}\overline{CD}{{/formula}} sind parallel, weil deren beiden Richtungsvektoren Vielfache von einander sind (das heißt linear abhängig sind), da {{formula}}\overrightarrow{AE}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 15 \\ 0 \end{array}\right) =3 \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right)= 3 \cdot \overrightarrow{CD}{{/formula}} | ||
| 2 | {{formula}}\overline{CD}{{/formula}} und {{formula}}\overline{DE}{{/formula}} schließen einen rechten Winkel ein, da das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren 0 ergibt: {{formula}}\overrightarrow{CD}\circ \overrightarrow{DE}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} -12 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)= (-12)\cdot 0 + 5 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0{{/formula}}. | ||
| 3 | [[image:Rasenfläche Lösung.JPG||width="350" style="float: right"]] | ||
| 4 | 1. Ausgehend vom gegebenen Ansatz kann der Inhalt der Rasenfläche berechnet werden. Im Modell kann die Fläche zerlegt werden in ein Rechteck mit den Seitenlängen {{formula}}|\overline{AE}|{{/formula}} und {{formula}}|\overline{DE}|{{/formula}} (blau) sowie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten die Längen {{formula}}|\overline{AB}|-|\overline{DE}|{{/formula}} und {{formula}}|\overline{AE}|-|\overline{CD}|{{/formula}} (gelb) haben. | ||
| 5 | 1. {{formula}}\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right){{/formula}} liefert folgendes Gleichungssystem: | ||
| 6 | |||
| 7 | {{formula}} | ||
| 8 | \begin{align} | ||
| 9 | \text{I} \quad 12 \lambda + 6\mu &= 14,4 \\ | ||
| 10 | \text{II} \quad 4 \lambda + 10 \mu &= 8 \\ | ||
| 11 | \text{III} \quad \lambda + 0,5 \mu &=1,2 | ||
| 12 | \end{align} | ||
| 13 | {{/formula}} | ||
| 14 | |||
| 15 | {{formula}}5 \cdot \text{I} - 3 \cdot \text{II}{{/formula}} liefert die Gleichung | ||
| 16 | {{formula}}48 \lambda = 48 \Leftrightarrow \lambda = 1{{/formula}} | ||
| 17 | Einsetzen von {{formula}}\lambda = 1{{/formula}} in die Geradengleichung {{formula}}g{{/formula}} liefert | ||
| 18 | {{formula}}\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + 1 \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 15,6 \\ 4 \\ 1,3 \end{array}\right){{/formula}} | ||
| 19 | Somit ergibt sich der Punkt {{formula}}Q = (15,6|4|1,3){{/formula}} |