BPE 7.2 Addition, Skalare Multiplikation, Betrag, Abstand, Strecke

1  Addition und Subtraktion  (6 min) 𝕃

Gegeben sind die Vektoren \(\vec{a}= \left(\begin{matrix}1\\3 \end{matrix}\right)\) und \(\vec{b}= \left(\begin{matrix}-2\\1 \end{matrix}\right)\)
Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem und ermittle zeichnerisch:

1. \(\vec{a}+\vec{b}\)
2. \(\vec{a}-\vec{b}\)

Prüfe dein zeichnerisches Ergebnis durch Rechnung.

2  Skalare Multiplikation  (6 min) 𝕃

Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem. Ermittle jeweils zeichnerisch:

1. \(\vec{a}+\vec{a}=2\vec{a}\) mit \(\vec{a}= \left(\begin{matrix}1\\3 \end{matrix}\right)\)
2. \(\vec{a}+\vec{a}+\vec{a}=3\vec{a}\) mit \(\vec{a}= \left(\begin{matrix}-2\\1 \end{matrix}\right)\)

3  Linearkombination  (10 min) 𝕃

Berechne jeweils den Vektor \(\vec c\)

1. \(-2\left(\begin{matrix}1\\0,5\\4\end{matrix}\right)-4\left(\begin{matrix}-1\\0,5\\4\end{matrix}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}-2\\-2\\20\end{matrix}\right)=\vec c\)
2. \(\left(\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right)-2\left(\begin{matrix}-2\\2\\0\end{matrix}\right)+\vec c=\vec o\)

4  Segelregatta  (10 min) 𝕃

Im Segel-Wettbewerb müssen nacheinander die einzelnen Bojen \(B_1\) bis \(B_4\) von außen umfahren werden. Das Rennen beginnt im Punkt \(S(40|0)\) und endet im Punkt \(Z(130|0)\).

1. Das Segelteam Furious steuert folgenden Kurs um die Bojen. Dabei dient der „Landungspunkt“ jedes Vektors immer als Startpunkt für den neuen Vektor.

   \(\overrightarrow{f_1}= 3 \vec{b}+\frac{5}{3} \vec{c}\),   \(\overrightarrow{f_2}= \vec{a}- 2\vec{b}+\frac{7}{2} \vec{c}\),   \(\overrightarrow{f_3}= \vec{a}- \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{d}\),   \(\overrightarrow{f_4}= 2\vec{b}-6,5\vec{c}\)

   mit \(\vec{a}=\left(\begin{matrix} 25 \\ 10 \end{matrix}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{matrix} -10 \\ 10 \end{matrix}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{matrix} 0 \\ 30 \end{matrix}\right), \quad \vec{d}=\left(\begin{matrix} 80 \\ 0 \end{matrix}\right)\)

   Prüfe, ob der Kurs den Regeln der Regatta entspricht. Begründe deine Entscheidung.

2. Das Segelteam Straight steuert das Schiff perfekt um die Bojen (wie eingezeichnet). Berechne die Länge des Segelkurses bis zur zweiten Boje. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 100 Metern in der Wirklichkeit.
3. Ein Photograph will Aufnahmen vom Segelteam Straight an der zweiten Boje machen und fährt auf direktem Weg vom Start dorthin. Er startet gleichzeitig mit dem Segelteam. Erreicht er die Position B₂(40|130) bevor Team Straight das Kreuzchen x bei Boje 2 erreicht, wenn sein Boot nur ⅔ der Geschwindigkeit des Segelboots fährt?

5  In Summe Null  (5 min) 𝕀  𝕋  𝕃

Gegeben sind die Punkte \(A(3|1|5)\), \(B(5|2|4)\) und \(C(8|7|1)\).
Berechne die Koordinaten von einem Punkt \(D(d_1|d_2|d_3)\), wobei gilt: \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{o}\)

6  Teilung einer Strecke  (5 min) 𝕃

\(C\) teilt die Strecke \(\overline{AB}\) im Verhältnis 2:1.

1. Stelle \(\vec{OC}\) als Linearkombination der Verbindungsvektoren der Punkte O, A, B dar.
2. Stelle \(\vec{OC}\) als Linearkombination der Ortsvektoren \(\vec{OA}\) und \(\vec{OB}\) dar.

(es reicht jeweils eine Lösung)

7  Gleichschenkliges Dreieck  (10 min) 𝕃

Gegeben sind die Punkte \(A(5|-5|12)\), \(B(5|5|12)\) und \(C(-5|5|12)\).

1. Zeige, dass das Dreieck \(A, B, C\) gleichschenklig ist.
2. Begründe, dass \(A, B\) und \(C\) Eckpunkte eines Quadrats sein können, und gib die Koordinaten des vierten Eckpunktes \(D\) dieses Quadrats an.

8  Saarpolygon  (10 min) 𝕃

Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken \(\overline{AB}\) , \(\overline{BC}\) und \(\overline{CD}\) mit \(A(11|11|0)\), \(B(-11|11|28)\), \(C(11|-11|28)\) und \(D(-11|-11|0)\) besteht (vgl. Abbildung 2). \(A, B, C\) und \(D\) sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

1. Begründe, dass die Punkte \(B\) und \(C\) symmetrisch bezüglich der \(x_3\)-Achse liegen.
2. Berechne die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.

9  Vektor  (5 min) 𝕋  𝕃

Der Vektor \(\vec{a}= \left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \end{matrix}\right)\) verläuft parallel zur zweiten Winkelhalbierenden.
Zusätzlich soll gelten: \(\left(\begin{matrix}3 \\ 1 \end{matrix}\right) + \vec{a} = \left(\begin{matrix} 0,5 \\ d \end{matrix}\right)\).
Bestimme den Wert von d.

10  Parallelogramm  (10 min) 𝕋  𝕃

Gegeben sind die Punkte \(A(1|2|3)\), \(B(4|6|4)\), \(C(2|9|6)\) und \(D(-1|5|5)\).

1. Zeige, dass das Viereck \(ABCD\) ein Parallelogramm ist.
2. Der Punkt \(P\) liegt auf der Strecke \(\overline{BD}\). Berechne die Koordinaten des Punktes \(P\) so, dass er die Strecke \(\overline{BD}\) im Verhältnis \(1:4\) teilt.

11  Zylinder  (10 min) 𝕋  𝕃

In einem Koordinatensystem ist ein gerader Zylinder mit dem Radius 5 und der Höhe 10 gegeben, dessen Grundfläche in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt. \( M(8|5|10)\) ist der Mittelpunkt der Deckfläche.

1. Weise nach, dass der Punkt \(P(5|1|0) \) auf dem Rand der Grundfläche des Zylinders liegt.
2. Unter allen Punkten auf dem Rand der Deckfläche hat der Punkt \( S \) den kleinsten Abstand von \( P \), der Punkt \( T \) den größten. Gib die Koordinaten von \( S \) an und bestimme die Koordinaten von \( T \).

12  Vektoren Sechseck  (8 min) 𝕃

Im abgebildeten Sechseck \(ABCDEF\) sind jeweils zwei Seiten parallel zueinander.

Der Punkt \(A\) hat in einem kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten \(x_1 = 6, x_2 = 2 \) und \(x_3=-4\) Der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{AB} \) wird mit \(M \) bezeichnet. Der Punkt \(K(2|0|8)\) ist der Mittelpunkt der Strecke \( \overline{AM} \). Ermittle die Koordinaten von \(B\).

13  Nachweis Dreieck  (10 min) 𝕋  𝕃

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A(1|2|5)\), \(B(2|7|8)\) und \(C(-3|2|4)\) gegeben.

1. Weise nach, dass \(A, B\) und \(C\) Eckpunkte eines Dreiecks sind.
2. Für jede reelle Zahl \(a\) ist ein Punkt \( D_a(a|2+a\sqrt{2}|5+\sqrt{2}) \) gegeben. Bestimme alle Werte von \(a\), für die die Strecke von \( A\) nach \(D_a\) die Länge 2 hat.

14  Flächeninhalte Verhältnis  (8 min) 𝕋  𝕃

Gegeben ist das Dreieck \(ABC\) mit den Eckpunkten \(A,B\) und \(C\). Für den Punkt \(D\) gilt
\(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}\)
wobei \(O\) den Koordinatenursprung bezeichnet.

Ermittle das Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks \(ABC\) zum Inhalt der Fläche des Trapezes \(ABCD\).
Stelle dein Vorgehen durch eine geeignete Ergänzung der Abbildung dar.

15  Schwerpunkt im Dreieck  (10 min) 𝕃

Gegeben ist das Dreieck \(ABC\) mit den Eckpunkten \(A(0|0|0)\), \(B(2|3|4)\) und \(C(-1|5|-2)\).
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt \(S\).

1. Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes \(S\).
2. Weise mit Hilfe von Vektoren nach, dass der Schwerpunkt \(S\) die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt.

16  Mittelpunkt einer Strecke  (7 min) 𝕃

Klara und Alfons haben zwei verschiedene Formeln für die Berechnung des Mittelpunkts zweier Punkte \(A(x_1|y_1)\) und \(B(x_2|y_2)\). 

Alfons glaubt, dass folgende Formel richtig ist: \(M\left(\frac{x_1-y_1}{2}\Bigl|\frac{x_2-y_2}{2}\right)\)

Klara behauptet aber, dass ihre Formel die richtige ist: \(M\left(\frac{x_1+x_2}{2}\Bigl|\frac{x_2+y_2}{2}\right)\)

17  Länge einer Strecke  (7 min) 𝕃

Klara und Alfons haben zwei verschiedene Formeln für die Berechnung des Abstands zweier Punkte \(A(x_1|y_1)\) und \(B(x_2|y_2)\). 

Alfons glaubt, dass folgende Formel richtig ist: \(d=\sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}\)

Klara behauptet aber, dass ihre Formel die richtige ist: \(d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)