Wiki-Quellcode von Lösung Nachweis Dreieck
Zuletzt geändert von Frauke Beckstette am 2024/02/05 13:53
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| author | version | line-number | content |
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1.1 | 1 | 1. Es ist {{formula}}\overrightarrow{AB} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 3 \end{array}\right){{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AC} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right){{/formula}}. |
| 2 | Da die beiden Vektoren linear unabhängig sind, d.h. {{formula}}\overrightarrow{AB} \neq \lambda \cdot \overrightarrow{AC} {{/formula}}, sind {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} Eckpunkte eines Dreiecks. | ||
| 3 | |||
| 4 | 1. Es ist {{formula}}\overrightarrow{AD_a}= \left(\begin{array}{c} a-1 \\ a\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{array}\right){{/formula}}. | ||
| 5 | Für die Länge der Strecke von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D_a{{/formula}} gilt | ||
| 6 | {{formula}} | ||
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16.1 | 7 | |\overrightarrow{AD_a}|= \sqrt{(a-1)^2+(a\sqrt{2})^2+{\sqrt{2}}^2}= \sqrt{3a^2-2a+3}. |
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3.1 | 8 | {{/formula}} |
| 9 | |||
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1.1 | 10 | Nun soll die Länge der Strecke 2 sein: |
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2.1 | 11 | |
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1.1 | 12 | {{formula}} |
| 13 | \begin{align} | ||
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8.1 | 14 | |\overrightarrow{AD_a}| &=2 \\ |
| 15 | \Leftrightarrow \sqrt{3a^2-2a+3} &= 2 \quad \mid ()^2 \\ | ||
| 16 | \Leftrightarrow 3a^2-2a+3 &= 4 \quad \mid -4 \\ | ||
| 17 | \Leftrightarrow 3a^2-2a-1 &= 0 | ||
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1.1 | 18 | \end{align} |
| 19 | {{/formula}} | ||
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3.1 | 20 | |
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17.1 | 21 | Mithilfe der Mitternachtsformel ergibt sich als Lösung |
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2.1 | 22 | |
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1.1 | 23 | {{formula}} |
| 24 | \begin{align} | ||
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15.1 | 25 | a_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 3 \cdot (-1)}}{2\cdot 3} = \frac{2\pm 4}{6} \\ |
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10.1 | 26 | \Rightarrow a_1=\frac{2+6}{6}=1; \quad a_2 = \frac{2-4}{6}= -\frac{1}{3} |
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1.1 | 27 | \end{align} |
| 28 | {{/formula}} |