Änderungen von Dokument Lösung Schwerpunkt im Dreieck

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,15 +1,55 @@
1		-[[image:Schwerpunktlsg.png||width="320" style="float: left"]]
	1	+[[image:Schwerpunktlsg.png||width="250" style="float: right"]]
2	2	Sei {{formula}}M_a{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{BC}{{/formula}}, {{formula}}M_b{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AC}{{/formula}} und {{formula}}M_c{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AB}{{/formula}}.
3	3
	4	+
4	4	Es gilt:
5	5
6	6	{{formula}}
7	7	\begin{align*}
8	8	\overrightarrow{AS}&=k\cdot \overrightarrow{AM_a} \\
9		- &= k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\quad \text{(I)}
	10	+ &= k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right) \quad \text{(I)}
10	10	\end{align*}
11	11	{{/formula}}
	13	+
12	12	und
13		-(I)
14		-(II)
15	15
	16	+{{formula}}
	17	+\begin{align*}
	18	+\overrightarrow{CS}&=t\cdot \overrightarrow{CM_c} \\
	19	+ &= t\cdot \left(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\right) \quad \text{(II)}
	20	+\end{align*}
	21	+{{/formula}}
	22	+
	23	+mit {{formula}}k,t \in \mathbb{R^+}{{/formula}}
	24	+
	25	+Die Strecke {{formula}}\overrightarrow{AS}{{/formula}} lässt sich als geschlossener Vektorzug wie folgt aufschreiben:
	26	+
	27	+{{formula}}
	28	+\begin{align*}
	29	+\overrightarrow{AS}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CS} \\
	30	+\Leftrightarrow \overrightarrow{CS} &= \overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC} \quad \text{(III)}
	31	+\end{align*}
	32	+{{/formula}}
	33	+
	34	+
	35	+Einsetzen von {{formula}}\text{(I)}{{/formula}} und {{formula}}\text{(II)}{{/formula}} in {{formula}}\text{(III)}{{/formula}}:
	36	+
	37	+{{formula}}
	38	+\begin{align*}
	39	+&t\cdot \left(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\right) = k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right)-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\\
	40	+\Leftrightarrow &\overrightarrow{AB}\cdot \left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)+\overrightarrow{BC}\cdot \left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)=0
	41	+\end{align*}
	42	+{{/formula}}
	43	+
	44	+Da {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} linear unabhängig sind, ist die linke Seite genau dann 0, wenn die Terme innerhalb der Klammern beide 0 sind. Das heißt, man erhält folgendes Gleichungssystem:
	45	+
	46	+{{formula}}
	47	+\begin{align*}
	48	+\left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)&=0 \quad (I) \\
	49	+\left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)&=0 \quad (II)
	50	+\end{align*}
	51	+{{/formula}}
	52	+
	53	+{{formula}}2\cdot \text{(I)}{{/formula}}-{{formula}}\text{(II)}{{/formula}}: {{formula}}-\frac{3}{2}k+1=0 \Leftrightarrow k=\frac{2}{3} {{/formula}}
	54	+
	55	+Einsetzen von {{formula}}k=\frac{2}{3}{{/formula}} in {{formula}}\text{(I)}{{/formula}} (oder {{formula}}\text{(II)}{{/formula}}) liefert {{formula}}t=\frac{2}{3}{{/formula}}